Theorem normgt0tOLD 8914

Description: The norm of non-zero vector is positive.

Assertion

Ref	Expression
normgt0tOLD	|- (A e. H~ -> (-. A = 0h <-> 0 < (normh` A)))

Proof of Theorem normgt0tOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrgt0t 6641	. . . . 5 |- (((A .ih A) e. RR /\ 0 < (A .ih A)) -> 0 < (sqr` (A .ih A)))
2		hiidrclt 8882	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> (A .ih A) e. RR)
3	2	adantr 389	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ -. A = 0h) -> (A .ih A) e. RR)
4		ax-his4 8873	. . . . . 6 |- ((A e. H~ /\ A =/= 0h) -> 0 < (A .ih A))
5		df-ne 1579	. . . . . 6 |- (A =/= 0h <-> -. A = 0h)
6	4, 5	sylan2br 453	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ -. A = 0h) -> 0 < (A .ih A))
7	1, 3, 6	sylanc 471	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ -. A = 0h) -> 0 < (sqr` (A .ih A)))
8	7	ex 373	. . 3 |- (A e. H~ -> (-. A = 0h -> 0 < (sqr` (A .ih A))))
9		opreq1 3953	. . . . . . . . 9 |- (A = 0h -> (A .ih A) = (0h .ih A))
10		hi01t 8883	. . . . . . . . 9 |- (A e. H~ -> (0h .ih A) = 0)
11	9, 10	sylan9eqr 1521	. . . . . . . 8 |- ((A e. H~ /\ A = 0h) -> (A .ih A) = 0)
12	11	fveq2d 3713	. . . . . . 7 |- ((A e. H~ /\ A = 0h) -> (sqr` (A .ih A)) = (sqr` 0))
13		sqr0 6602	. . . . . . 7 |- (sqr` 0) = 0
14	12, 13	syl6eq 1515	. . . . . 6 |- ((A e. H~ /\ A = 0h) -> (sqr` (A .ih A)) = 0)
15	14	ex 373	. . . . 5 |- (A e. H~ -> (A = 0h -> (sqr` (A .ih A)) = 0))
16		sqrclt 6640	. . . . . . . . 9 |- (((A .ih A) e. RR /\ 0 <_ (A .ih A)) -> (sqr` (A .ih A)) e. RR)
17		hiidge0t 8885	. . . . . . . . 9 |- (A e. H~ -> 0 <_ (A .ih A))
18	16, 2, 17	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (A e. H~ -> (sqr` (A .ih A)) e. RR)
19		0re 5412	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
20	18, 19	jctir 293	. . . . . . 7 |- (A e. H~ -> ((sqr` (A .ih A)) e. RR /\ 0 e. RR))
21		lttri3t 5486	. . . . . . 7 |- (((sqr` (A .ih A)) e. RR /\ 0 e. RR) -> ((sqr` (A .ih A)) = 0 <-> (-. (sqr` (A .ih A)) < 0 /\ -. 0 < (sqr` (A .ih A)))))
22	20, 21	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> ((sqr` (A .ih A)) = 0 <-> (-. (sqr` (A .ih A)) < 0 /\ -. 0 < (sqr` (A .ih A)))))
23		pm3.27 323	. . . . . 6 |- ((-. (sqr` (A .ih A)) < 0 /\ -. 0 < (sqr` (A .ih A))) -> -. 0 < (sqr` (A .ih A)))
24	22, 23	syl6bi 214	. . . . 5 |- (A e. H~ -> ((sqr` (A .ih A)) = 0 -> -. 0 < (sqr` (A .ih A))))
25	15, 24	syld 27	. . . 4 |- (A e. H~ -> (A = 0h -> -. 0 < (sqr` (A .ih A))))
26	25	con2d 91	. . 3 |- (A e. H~ -> (0 < (sqr` (A .ih A)) -> -. A = 0h))
27	8, 26	impbid 514	. 2 |- (A e. H~ -> (-. A = 0h <-> 0 < (sqr` (A .ih A))))
28		normvalt 8911	. . 3 |- (A e. H~ -> (normh` A) = (sqr` (A .ih A)))
29	28	breq2d 2620	. 2 |- (A e. H~ -> (0 < (normh` A) <-> 0 < (sqr` (A .ih A))))
30	27, 29	bitr4d 529	1 |- (A e. H~ -> (-. A = 0h <-> 0 < (normh` A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   <_ cle 5267   < clt 5458  sqrcsqr 6599  H~chil 8727  0hc0v 8730   .ih csp 8732  normhcno 8733

This theorem is referenced by:  nmcoplb 9873  lnopcon 9878  nmcfnlb 9902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hv0cl 8794  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-hnorm 8776

Copyright terms: Public domain