Theorem norm3lem 9016

Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space.

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	|- A e. H~
norm3dif.2	|- B e. H~
norm3dif.3	|- C e. H~
norm3lem.4	|- D e. RR

Assertion

Ref	Expression
norm3lem	|- (((normh` (A -h C)) < (D / 2) /\ (normh` (C -h B)) < (D / 2)) -> (normh` (A -h B)) < D)

Proof of Theorem norm3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . . 6 |- A e. H~
2		norm3dif.3	. . . . . 6 |- C e. H~
3	1, 2	hvsubcl 8891	. . . . 5 |- (A -h C) e. H~
4	3	normcl 8998	. . . 4 |- (normh` (A -h C)) e. RR
5		norm3dif.2	. . . . . 6 |- B e. H~
6	2, 5	hvsubcl 8891	. . . . 5 |- (C -h B) e. H~
7	6	normcl 8998	. . . 4 |- (normh` (C -h B)) e. RR
8		norm3lem.4	. . . . 5 |- D e. RR
9		2re 5979	. . . . 5 |- 2 e. RR
10		2ne0 5990	. . . . 5 |- 2 =/= 0
11	8, 9, 10	redivcl 5798	. . . 4 |- (D / 2) e. RR
12	4, 7, 11, 11	lt2add 5596	. . 3 |- (((normh` (A -h C)) < (D / 2) /\ (normh` (C -h B)) < (D / 2)) -> ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B))) < ((D / 2) + (D / 2)))
13	1, 5, 2	norm3dif 9014	. . . 4 |- (normh` (A -h B)) <_ ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B)))
14	1, 5	hvsubcl 8891	. . . . . 6 |- (A -h B) e. H~
15	14	normcl 8998	. . . . 5 |- (normh` (A -h B)) e. RR
16	4, 7	readdcl 5334	. . . . 5 |- ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B))) e. RR
17	11, 11	readdcl 5334	. . . . 5 |- ((D / 2) + (D / 2)) e. RR
18	15, 16, 17	lelttr 5586	. . . 4 |- (((normh` (A -h B)) <_ ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B))) /\ ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B))) < ((D / 2) + (D / 2))) -> (normh` (A -h B)) < ((D / 2) + (D / 2)))
19	13, 18	mpan 695	. . 3 |- (((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B))) < ((D / 2) + (D / 2)) -> (normh` (A -h B)) < ((D / 2) + (D / 2)))
20	12, 19	syl 10	. 2 |- (((normh` (A -h C)) < (D / 2) /\ (normh` (C -h B)) < (D / 2)) -> (normh` (A -h B)) < ((D / 2) + (D / 2)))
21	11	recn 5314	. . . 4 |- (D / 2) e. CC
22	21	2times 6003	. . 3 |- (2 x. (D / 2)) = ((D / 2) + (D / 2))
23	8	recn 5314	. . . 4 |- D e. CC
24		2cn 5980	. . . 4 |- 2 e. CC
25	23, 24, 10	divcan2 5716	. . 3 |- (2 x. (D / 2)) = D
26	22, 25	eqtr3 1497	. 2 |- ((D / 2) + (D / 2)) = D
27	20, 26	syl6breq 2654	1 |- (((normh` (A -h C)) < (D / 2) /\ (normh` (C -h B)) < (D / 2)) -> (normh` (A -h B)) < D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295   < clt 5486  2c2 5961  H~chil 8788   -h cmv 8792  normhcno 8794

This theorem is referenced by:  norm3lemt 9019

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840

Copyright terms: Public domain