Theorem norm3dif 8935

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101.

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	|- A e. H~
norm3dif.2	|- B e. H~
norm3dif.3	|- C e. H~

Assertion

Ref	Expression
norm3dif	|- (normh` (A -h B)) <_ ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B)))

Proof of Theorem norm3dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . . 6 |- A e. H~
2		ax1cn 5241	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
3	2	negcl 5341	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
4		norm3dif.3	. . . . . . 7 |- C e. H~
5	3, 4	hvmulcl 8805	. . . . . 6 |- (-u1 .h C) e. H~
6		norm3dif.2	. . . . . . . 8 |- B e. H~
7	3, 6	hvmulcl 8805	. . . . . . 7 |- (-u1 .h B) e. H~
8	4, 7	hvaddcl 8809	. . . . . 6 |- (C +h (-u1 .h B)) e. H~
9	1, 5, 8	hvass 8841	. . . . 5 |- ((A +h (-u1 .h C)) +h (C +h (-u1 .h B))) = (A +h ((-u1 .h C) +h (C +h (-u1 .h B))))
10	5, 4, 7	hvass 8841	. . . . . . 7 |- (((-u1 .h C) +h C) +h (-u1 .h B)) = ((-u1 .h C) +h (C +h (-u1 .h B)))
11	5, 4	hvcom 8810	. . . . . . . . . 10 |- ((-u1 .h C) +h C) = (C +h (-u1 .h C))
12	4, 4	hvsubval 8811	. . . . . . . . . 10 |- (C -h C) = (C +h (-u1 .h C))
13		hvsubidt 8816	. . . . . . . . . . 11 |- (C e. H~ -> (C -h C) = 0h)
14	4, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (C -h C) = 0h
15	11, 12, 14	3eqtr2 1493	. . . . . . . . 9 |- ((-u1 .h C) +h C) = 0h
16	15	opreq1i 3956	. . . . . . . 8 |- (((-u1 .h C) +h C) +h (-u1 .h B)) = (0h +h (-u1 .h B))
17		ax-hv0cl 8794	. . . . . . . . 9 |- 0h e. H~
18	17, 7	hvcom 8810	. . . . . . . 8 |- (0h +h (-u1 .h B)) = ((-u1 .h B) +h 0h)
19		ax-hvaddid 8795	. . . . . . . . 9 |- ((-u1 .h B) e. H~ -> ((-u1 .h B) +h 0h) = (-u1 .h B))
20	7, 19	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ((-u1 .h B) +h 0h) = (-u1 .h B)
21	16, 18, 20	3eqtr 1491	. . . . . . 7 |- (((-u1 .h C) +h C) +h (-u1 .h B)) = (-u1 .h B)
22	10, 21	eqtr3 1489	. . . . . 6 |- ((-u1 .h C) +h (C +h (-u1 .h B))) = (-u1 .h B)
23	22	opreq2i 3957	. . . . 5 |- (A +h ((-u1 .h C) +h (C +h (-u1 .h B)))) = (A +h (-u1 .h B))
24	9, 23	eqtr2 1488	. . . 4 |- (A +h (-u1 .h B)) = ((A +h (-u1 .h C)) +h (C +h (-u1 .h B)))
25	1, 6	hvsubval 8811	. . . 4 |- (A -h B) = (A +h (-u1 .h B))
26	1, 4	hvsubval 8811	. . . . 5 |- (A -h C) = (A +h (-u1 .h C))
27	4, 6	hvsubval 8811	. . . . 5 |- (C -h B) = (C +h (-u1 .h B))
28	26, 27	opreq12i 3958	. . . 4 |- ((A -h C) +h (C -h B)) = ((A +h (-u1 .h C)) +h (C +h (-u1 .h B)))
29	24, 25, 28	3eqtr4 1497	. . 3 |- (A -h B) = ((A -h C) +h (C -h B))
30	29	fveq2i 3712	. 2 |- (normh` (A -h B)) = (normh` ((A -h C) +h (C -h B)))
31	1, 4	hvsubcl 8812	. . 3 |- (A -h C) e. H~
32	4, 6	hvsubcl 8812	. . 3 |- (C -h B) e. H~
33	31, 32	norm-ii 8925	. 2 |- (normh` ((A -h C) +h (C -h B))) <_ ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B)))
34	30, 33	eqbrtr 2624	1 |- (normh` (A -h B)) <_ ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B)))

Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  1c1 5207   + caddc 5209  -ucneg 5265   <_ cle 5267  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  0hc0v 8730   -h cmv 8731  normhcno 8733

This theorem is referenced by:  norm3adif 8936  norm3lem 8937  norm3dift 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779

Copyright terms: Public domain