Theorem norm-iii 8945

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
norm-iii.1	|- A e. CC
norm-iii.2	|- B e. H~

Assertion

Ref	Expression
norm-iii	|- (normh` (A .h B)) = ((abs` A) x. (normh` B))

Proof of Theorem norm-iii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm-iii.1	. . . . 5 |- A e. CC
2		norm-iii.2	. . . . 5 |- B e. H~
3	1, 1, 2, 2	his35 8894	. . . 4 |- ((A .h B) .ih (A .h B)) = ((A x. (*` A)) x. (B .ih B))
4	3	fveq2i 3718	. . 3 |- (sqr` ((A .h B) .ih (A .h B))) = (sqr` ((A x. (*` A)) x. (B .ih B)))
5	1	cjmulrcl 6734	. . . 4 |- (A x. (*` A)) e. RR
6		hiidrclt 8900	. . . . 5 |- (B e. H~ -> (B .ih B) e. RR)
7	2, 6	ax-mp 7	. . . 4 |- (B .ih B) e. RR
8	1	cjmulge0 6736	. . . 4 |- 0 <_ (A x. (*` A))
9		hiidge0t 8903	. . . . 5 |- (B e. H~ -> 0 <_ (B .ih B))
10	2, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 <_ (B .ih B)
11	5, 7, 8, 10	sqrmuli 6642	. . 3 |- (sqr` ((A x. (*` A)) x. (B .ih B))) = ((sqr` (A x. (*` A))) x. (sqr` (B .ih B)))
12	4, 11	eqtr 1492	. 2 |- (sqr` ((A .h B) .ih (A .h B))) = ((sqr` (A x. (*` A))) x. (sqr` (B .ih B)))
13	1, 2	hvmulcl 8823	. . 3 |- (A .h B) e. H~
14		normvalt 8929	. . 3 |- ((A .h B) e. H~ -> (normh` (A .h B)) = (sqr` ((A .h B) .ih (A .h B))))
15	13, 14	ax-mp 7	. 2 |- (normh` (A .h B)) = (sqr` ((A .h B) .ih (A .h B)))
16		absvalt 6702	. . . 4 |- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))
17	1, 16	ax-mp 7	. . 3 |- (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A)))
18		normvalt 8929	. . . 4 |- (B e. H~ -> (normh` B) = (sqr` (B .ih B)))
19	2, 18	ax-mp 7	. . 3 |- (normh` B) = (sqr` (B .ih B))
20	17, 19	opreq12i 3964	. 2 |- ((abs` A) x. (normh` B)) = ((sqr` (A x. (*` A))) x. (sqr` (B .ih B)))
21	12, 15, 20	3eqtr4 1502	1 |- (normh` (A .h B)) = ((abs` A) x. (normh` B))

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214   x. cmul 5219   <_ cle 5275  sqrcsqr 6607  *ccj 6688  abscabs 6689  H~chil 8727   .h csm 8729   .ih csp 8732  normhcno 8733

This theorem is referenced by:  norm-iiit 8946  normsub 8947  normpar2 8962  projlem18 9142

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hv0cl 8812  ax-hfvmul 8814  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-hnorm 8776

Copyright terms: Public domain