Theorem nonbool 9591

Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where ((H i^i F) vH (H i^i G)) = 0H but (H i^i (F vH G)) =/= 0H. The antecedent specifies that the vectors A and B are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to F, G, and H.

Hypotheses

Ref	Expression
nonbool.1	|- A e. H~
nonbool.2	|- B e. H~
nonbool.3	|- F = (span` {A})
nonbool.4	|- G = (span` {B})
nonbool.5	|- H = (span` {(A +h B)})

Assertion

Ref	Expression
nonbool	|- (-. (A e. G \/ B e. F) -> (H i^i (F vH G)) =/= ((H i^i F) vH (H i^i G)))

Proof of Theorem nonbool

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 1487	. . . . 5 |- (((H i^i F) vH (H i^i G)) = 0H -> ((H i^i (F vH G)) = ((H i^i F) vH (H i^i G)) <-> (H i^i (F vH G)) = 0H))
2	1	negbid 613	. . . 4 |- (((H i^i F) vH (H i^i G)) = 0H -> (-. (H i^i (F vH G)) = ((H i^i F) vH (H i^i G)) <-> -. (H i^i (F vH G)) = 0H))
3	2	biimparc 421	. . 3 |- ((-. (H i^i (F vH G)) = 0H /\ ((H i^i F) vH (H i^i G)) = 0H) -> -. (H i^i (F vH G)) = ((H i^i F) vH (H i^i G)))
4		elin 2210	. . . . . . . . . 10 |- ((A +h B) e. (H i^i (F vH G)) <-> ((A +h B) e. H /\ (A +h B) e. (F vH G)))
5		nonbool.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. H~
6		nonbool.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. H~
7	5, 6	hvaddcl 8883	. . . . . . . . . . . 12 |- (A +h B) e. H~
8		spansnid 9481	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A +h B) e. H~ -> (A +h B) e. (span` {(A +h B)}))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (A +h B) e. (span` {(A +h B)})
10		nonbool.5	. . . . . . . . . . 11 |- H = (span` {(A +h B)})
11	9, 10	eleqtrr 1550	. . . . . . . . . 10 |- (A +h B) e. H
12		nonbool.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = (span` {A})
13	5	spansnch 9480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (span` {A}) e. CH
14	13	chshi 9092	. . . . . . . . . . . . 13 |- (span` {A}) e. SH
15	12, 14	eqeltr 1547	. . . . . . . . . . . 12 |- F e. SH
16		nonbool.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = (span` {B})
17	6	spansnch 9480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (span` {B}) e. CH
18	17	chshi 9092	. . . . . . . . . . . . 13 |- (span` {B}) e. SH
19	16, 18	eqeltr 1547	. . . . . . . . . . . 12 |- G e. SH
20	15, 19	shslej 9333	. . . . . . . . . . 11 |- (F +H G) (_ (F vH G)
21		spansnid 9481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. H~ -> A e. (span` {A}))
22	5, 21	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. (span` {A})
23	22, 12	eleqtrr 1550	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. F
24		spansnid 9481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. H~ -> B e. (span` {B}))
25	6, 24	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. (span` {B})
26	25, 16	eleqtrr 1550	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. G
27	15, 19	shsva 9328	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. F /\ B e. G) -> (A +h B) e. (F +H G))
28	23, 26, 27	mp2an 699	. . . . . . . . . . 11 |- (A +h B) e. (F +H G)
29	20, 28	sselii 2069	. . . . . . . . . 10 |- (A +h B) e. (F vH G)
30	4, 11, 29	mpbir2an 732	. . . . . . . . 9 |- (A +h B) e. (H i^i (F vH G))
31		eleq2 1538	. . . . . . . . 9 |- ((H i^i (F vH G)) = 0H -> ((A +h B) e. (H i^i (F vH G)) <-> (A +h B) e. 0H))
32	30, 31	mpbii 193	. . . . . . . 8 |- ((H i^i (F vH G)) = 0H -> (A +h B) e. 0H)
33		elch0 9121	. . . . . . . 8 |- ((A +h B) e. 0H <-> (A +h B) = 0h)
34	32, 33	sylib 198	. . . . . . 7 |- ((H i^i (F vH G)) = 0H -> (A +h B) = 0h)
35		ch0 9093	. . . . . . . 8 |- ((span` {A}) e. CH -> 0h e. (span` {A}))
36	13, 35	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 0h e. (span` {A})
37	34, 36	syl6eqel 1559	. . . . . 6 |- ((H i^i (F vH G)) = 0H -> (A +h B) e. (span` {A}))
38	12	eleq2i 1541	. . . . . . 7 |- (B e. F <-> B e. (span` {A}))
39		sumspansnt 9589	. . . . . . . 8 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A +h B) e. (span` {A}) <-> B e. (span` {A})))
40	5, 6, 39	mp2an 699	. . . . . . 7 |- ((A +h B) e. (span` {A}) <-> B e. (span` {A}))
41	38, 40	bitr4 176	. . . . . 6 |- (B e. F <-> (A +h B) e. (span` {A}))
42	37, 41	sylibr 200	. . . . 5 |- ((H i^i (F vH G)) = 0H -> B e. F)
43	42	con3i 98	. . . 4 |- (-. B e. F -> -. (H i^i (F vH G)) = 0H)
44	43	adantl 390	. . 3 |- ((-. A e. G /\ -. B e. F) -> -. (H i^i (F vH G)) = 0H)
45	7, 5	spansnm0 9590	. . . . . 6 |- (-. (A +h B) e. (span` {A}) -> ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {A})) = 0H)
46	41	negbii 187	. . . . . 6 |- (-. B e. F <-> -. (A +h B) e. (span` {A}))
47	10, 12	ineq12i 2218	. . . . . . 7 |- (H i^i F) = ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {A}))
48	47	eqeq1i 1485	. . . . . 6 |- ((H i^i F) = 0H <-> ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {A})) = 0H)
49	45, 46, 48	3imtr4 219	. . . . 5 |- (-. B e. F -> (H i^i F) = 0H)
50	7, 6	spansnm0 9590	. . . . . 6 |- (-. (A +h B) e. (span` {B}) -> ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {B})) = 0H)
51		sumspansnt 9589	. . . . . . . . 9 |- ((B e. H~ /\ A e. H~) -> ((B +h A) e. (span` {B}) <-> A e. (span` {B})))
52	6, 5, 51	mp2an 699	. . . . . . . 8 |- ((B +h A) e. (span` {B}) <-> A e. (span` {B}))
53	5, 6	hvcom 8884	. . . . . . . . 9 |- (A +h B) = (B +h A)
54	53	eleq1i 1540	. . . . . . . 8 |- ((A +h B) e. (span` {B}) <-> (B +h A) e. (span` {B}))
55	16	eleq2i 1541	. . . . . . . 8 |- (A e. G <-> A e. (span` {B}))
56	52, 54, 55	3bitr4r 184	. . . . . . 7 |- (A e. G <-> (A +h B) e. (span` {B}))
57	56	negbii 187	. . . . . 6 |- (-. A e. G <-> -. (A +h B) e. (span` {B}))
58	10, 16	ineq12i 2218	. . . . . . 7 |- (H i^i G) = ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {B}))
59	58	eqeq1i 1485	. . . . . 6 |- ((H i^i G) = 0H <-> ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {B})) = 0H)
60	50, 57, 59	3imtr4 219	. . . . 5 |- (-. A e. G -> (H i^i G) = 0H)
61	49, 60	opreqan12rd 3986	. . . 4 |- ((-. A e. G /\ -. B e. F) -> ((H i^i F) vH (H i^i G)) = (0H vH 0H))
62		h0elch 9122	. . . . 5 |- 0H e. CH
63	62	chj0 9373	. . . 4 |- (0H vH 0H) = 0H
64	61, 63	syl6eq 1526	. . 3 |- ((-. A e. G /\ -. B e. F) -> ((H i^i F) vH (H i^i G)) = 0H)
65	3, 44, 64	sylanc 473	. 2 |- ((-. A e. G /\ -. B e. F) -> -. (H i^i (F vH G)) = ((H i^i F) vH (H i^i G)))
66		ioran 306	. 2 |- (-. (A e. G \/ B e. F) <-> (-. A e. G /\ -. B e. F))
67		df-ne 1590	. 2 |- ((H i^i (F vH G)) =/= ((H i^i F) vH (H i^i G)) <-> -. (H i^i (F vH G)) = ((H i^i F) vH (H i^i G)))
68	65, 66, 67	3imtr4 219	1 |- (-. (A e. G \/ B e. F) -> (H i^i (F vH G)) =/= ((H i^i F) vH (H i^i G)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   i^i cin 2049  {csn 2413  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  H~chil 8783   +h cva 8784  0hc0v 8786  SHcsh 8792  CHcch 8793   +H cph 8795  spancspn 8796   vH chj 8797  0Hc0h 8799

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz