Theorem nnunb 6025

Description: The set of natural numbers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26.

Assertion

Ref	Expression
nnunb	|- -. E.x e. RR A.y e. NN (y < x \/ y = x)

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem nnunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 657	. . . 4 |- -. (A.y e. NN -. x < y /\ -. A.y e. NN -. x < y)
2		oprex 3974	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x - 1) e. V
3		eleq1 1531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (x - 1) -> (y e. RR <-> (x - 1) e. RR))
4		breq1 2617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (x - 1) -> (y < x <-> (x - 1) < x))
5		breq1 2617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = (x - 1) -> (y < z <-> (x - 1) < z))
6	5	rexbidv 1661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (x - 1) -> (E.z e. NN y < z <-> E.z e. NN (x - 1) < z))
7	4, 6	imbi12d 625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (x - 1) -> ((y < x -> E.z e. NN y < z) <-> ((x - 1) < x -> E.z e. NN (x - 1) < z)))
8	3, 7	imbi12d 625	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (x - 1) -> ((y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) <-> ((x - 1) e. RR -> ((x - 1) < x -> E.z e. NN (x - 1) < z))))
9	2, 8	cla4v 1864	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> ((x - 1) e. RR -> ((x - 1) < x -> E.z e. NN (x - 1) < z)))
10		ltm1t 5779	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> (x - 1) < x)
11	9, 10	syl7 23	. . . . . . . . . . 11 |- (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> ((x - 1) e. RR -> (x e. RR -> E.z e. NN (x - 1) < z)))
12		peano2rem 5422	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> (x - 1) e. RR)
13	11, 12	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> (x e. RR -> (x e. RR -> E.z e. NN (x - 1) < z)))
14	13	pm2.43d 65	. . . . . . . . 9 |- (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> (x e. RR -> E.z e. NN (x - 1) < z))
15		df-rex 1647	. . . . . . . . 9 |- (E.z e. NN (x - 1) < z <-> E.z(z e. NN /\ (x - 1) < z))
16	14, 15	syl6ib 212	. . . . . . . 8 |- (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> (x e. RR -> E.z(z e. NN /\ (x - 1) < z)))
17	16	com12 11	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> E.z(z e. NN /\ (x - 1) < z)))
18		1re 5415	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
19		ltsubaddt 5609	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ 1 e. RR /\ z e. RR) -> ((x - 1) < z <-> x < (z + 1)))
20	18, 19	mp3an2 902	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ z e. RR) -> ((x - 1) < z <-> x < (z + 1)))
21		nnret 5885	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> z e. RR)
22	20, 21	sylan2 451	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ z e. NN) -> ((x - 1) < z <-> x < (z + 1)))
23	22	pm5.32da 648	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> ((z e. NN /\ (x - 1) < z) <-> (z e. NN /\ x < (z + 1))))
24	23	exbidv 1277	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (E.z(z e. NN /\ (x - 1) < z) <-> E.z(z e. NN /\ x < (z + 1))))
25		oprex 3974	. . . . . . . . . . 11 |- (z + 1) e. V
26		eleq1 1531	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (z + 1) -> (y e. NN <-> (z + 1) e. NN))
27		breq2 2618	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (z + 1) -> (x < y <-> x < (z + 1)))
28	26, 27	anbi12d 627	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (z + 1) -> ((y e. NN /\ x < y) <-> ((z + 1) e. NN /\ x < (z + 1))))
29	25, 28	cla4ev 1865	. . . . . . . . . 10 |- (((z + 1) e. NN /\ x < (z + 1)) -> E.y(y e. NN /\ x < y))
30		peano2nn 5891	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> (z + 1) e. NN)
31	29, 30	sylan 448	. . . . . . . . 9 |- ((z e. NN /\ x < (z + 1)) -> E.y(y e. NN /\ x < y))
32	31	19.23aiv 1293	. . . . . . . 8 |- (E.z(z e. NN /\ x < (z + 1)) -> E.y(y e. NN /\ x < y))
33	24, 32	syl6bi 214	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (E.z(z e. NN /\ (x - 1) < z) -> E.y(y e. NN /\ x < y)))
34	17, 33	syld 27	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> E.y(y e. NN /\ x < y)))
35		df-ral 1646	. . . . . 6 |- (A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z) <-> A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)))
36		df-ral 1646	. . . . . . . 8 |- (A.y e. NN -. x < y <-> A.y(y e. NN -> -. x < y))
37		alinexa 1040	. . . . . . . 8 |- (A.y(y e. NN -> -. x < y) <-> -. E.y(y e. NN /\ x < y))
38	36, 37	bitr2 174	. . . . . . 7 |- (-. E.y(y e. NN /\ x < y) <-> A.y e. NN -. x < y)
39	38	con1bii 220	. . . . . 6 |- (-. A.y e. NN -. x < y <-> E.y(y e. NN /\ x < y))
40	34, 35, 39	3imtr4g 552	. . . . 5 |- (x e. RR -> (A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z) -> -. A.y e. NN -. x < y))
41	40	anim2d 560	. . . 4 |- (x e. RR -> ((A.y e. NN -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> (A.y e. NN -. x < y /\ -. A.y e. NN -. x < y)))
42	1, 41	mtoi 107	. . 3 |- (x e. RR -> -. (A.y e. NN -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z)))
43	42	nrex 1726	. 2 |- -. E.x e. RR (A.y e. NN -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z))
44		nnssre 5883	. . 3 |- NN (_ RR
45		1nn 5890	. . . . 5 |- 1 e. NN
46		n0i 2281	. . . . 5 |- (1 e. NN -> -. NN = (/))
47	45, 46	ax-mp 7	. . . 4 |- -. NN = (/)
48		df-ne 1584	. . . 4 |- (NN =/= (/) <-> -. NN = (/))
49	47, 48	mpbir 190	. . 3 |- NN =/= (/)
50		sup2 6006	. . 3 |- ((NN (_ RR /\ NN =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. NN (y < x \/ y = x)) -> E.x e. RR (A.y e. NN -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z)))
51	44, 49, 50	mp3an12 904	. 2 |- (E.x e. RR A.y e. NN (y < x \/ y = x) -> E.x e. RR (A.y e. NN -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z)))
52	43, 51	mto 106	1 |- -. E.x e. RR A.y e. NN (y < x \/ y = x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978   =/= wne 1582  A.wral 1642  E.wrex 1643   (_ wss 2043  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217   - cmin 5272  NNcn 5276   < clt 5466

This theorem is referenced by:  arch 6026

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881

Copyright terms: Public domain