Theorem nnsub 5903

Description: Subtraction of natural numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
nnsub.1	|- A e. NN
nnsub.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
nnsub	|- (A < B <-> (B - A) e. NN)

Proof of Theorem nnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsub.2	. . 3 |- B e. NN
2		breq2 2613	. . . . 5 |- (x = 1 -> (A < x <-> A < 1))
3		opreq1 3953	. . . . . 6 |- (x = 1 -> (x - A) = (1 - A))
4	3	eleq1d 1532	. . . . 5 |- (x = 1 -> ((x - A) e. NN <-> (1 - A) e. NN))
5	2, 4	imbi12d 624	. . . 4 |- (x = 1 -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < 1 -> (1 - A) e. NN)))
6		breq2 2613	. . . . 5 |- (x = y -> (A < x <-> A < y))
7		opreq1 3953	. . . . . 6 |- (x = y -> (x - A) = (y - A))
8	7	eleq1d 1532	. . . . 5 |- (x = y -> ((x - A) e. NN <-> (y - A) e. NN))
9	6, 8	imbi12d 624	. . . 4 |- (x = y -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < y -> (y - A) e. NN)))
10		breq2 2613	. . . . 5 |- (x = (y + 1) -> (A < x <-> A < (y + 1)))
11		opreq1 3953	. . . . . 6 |- (x = (y + 1) -> (x - A) = ((y + 1) - A))
12	11	eleq1d 1532	. . . . 5 |- (x = (y + 1) -> ((x - A) e. NN <-> ((y + 1) - A) e. NN))
13	10, 12	imbi12d 624	. . . 4 |- (x = (y + 1) -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < (y + 1) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
14		breq2 2613	. . . . 5 |- (x = B -> (A < x <-> A < B))
15		opreq1 3953	. . . . . 6 |- (x = B -> (x - A) = (B - A))
16	15	eleq1d 1532	. . . . 5 |- (x = B -> ((x - A) e. NN <-> (B - A) e. NN))
17	14, 16	imbi12d 624	. . . 4 |- (x = B -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < B -> (B - A) e. NN)))
18		nnsub.1	. . . . . . 7 |- A e. NN
19		nnge1t 5891	. . . . . . 7 |- (A e. NN -> 1 <_ A)
20	18, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 1 <_ A
21		1re 5407	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
22	18	nnre 5879	. . . . . . 7 |- A e. RR
23	21, 22	lenlt 5551	. . . . . 6 |- (1 <_ A <-> -. A < 1)
24	20, 23	mpbi 189	. . . . 5 |- -. A < 1
25	24	pm2.21i 77	. . . 4 |- (A < 1 -> (1 - A) e. NN)
26		nnret 5877	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y e. RR)
27	26, 22	jctil 292	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> (A e. RR /\ y e. RR))
28		leloet 5491	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ y e. RR) -> (A <_ y <-> (A < y \/ A = y)))
29	27, 28	syl 10	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A <_ y <-> (A < y \/ A = y)))
30		nnleltp1t 5901	. . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> (A <_ y <-> A < (y + 1)))
31	18, 30	mpan 693	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A <_ y <-> A < (y + 1)))
32	29, 31	bitr3d 528	. . . . . 6 |- (y e. NN -> ((A < y \/ A = y) <-> A < (y + 1)))
33		nncnt 5878	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. NN -> y e. CC)
34	18	nncn 5880	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. CC
35	33, 34	jctir 293	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> (y e. CC /\ A e. CC))
36		ax1cn 5241	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
37		addsubt 5356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. CC) -> ((y + 1) - A) = ((y - A) + 1))
38	36, 37	mp3an2 901	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ A e. CC) -> ((y + 1) - A) = ((y - A) + 1))
39	35, 38	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. NN -> ((y + 1) - A) = ((y - A) + 1))
40	39	eleq1d 1532	. . . . . . . . . 10 |- (y e. NN -> (((y + 1) - A) e. NN <-> ((y - A) + 1) e. NN))
41		peano2nn 5883	. . . . . . . . . 10 |- ((y - A) e. NN -> ((y - A) + 1) e. NN)
42	40, 41	syl5bir 210	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> ((y - A) e. NN -> ((y + 1) - A) e. NN))
43	42	imim2d 25	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> (A < y -> ((y + 1) - A) e. NN)))
44	43	com23 32	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A < y -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
45		opreq1 3953	. . . . . . . . . . 11 |- (A = y -> (A + 1) = (y + 1))
46	45	opreq1d 3960	. . . . . . . . . 10 |- (A = y -> ((A + 1) - A) = ((y + 1) - A))
47	34, 36, 34	addsub 5360	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A + 1) - A) = ((A - A) + 1)
48	34	subid 5363	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A - A) = 0
49	48	opreq1i 3956	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A - A) + 1) = (0 + 1)
50	36	addid2 5303	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 + 1) = 1
51	47, 49, 50	3eqtr 1491	. . . . . . . . . . 11 |- ((A + 1) - A) = 1
52		1nn 5882	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
53	51, 52	eqeltr 1536	. . . . . . . . . 10 |- ((A + 1) - A) e. NN
54	46, 53	syl6eqelr 1549	. . . . . . . . 9 |- (A = y -> ((y + 1) - A) e. NN)
55	54	a1d 12	. . . . . . . 8 |- (A = y -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN))
56	55	a1i 8	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A = y -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
57	44, 56	jaod 424	. . . . . 6 |- (y e. NN -> ((A < y \/ A = y) -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
58	32, 57	sylbird 205	. . . . 5 |- (y e. NN -> (A < (y + 1) -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
59	58	com23 32	. . . 4 |- (y e. NN -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> (A < (y + 1) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
60	5, 9, 13, 17, 25, 59	nnind 5885	. . 3 |- (B e. NN -> (A < B -> (B - A) e. NN))
61	1, 60	ax-mp 7	. 2 |- (A < B -> (B - A) e. NN)
62		nngt0t 5894	. . 3 |- ((B - A) e. NN -> 0 < (B - A))
63	1	nnre 5879	. . . 4 |- B e. RR
64	22, 63	posdif 5638	. . 3 |- (A < B <-> 0 < (B - A))
65	62, 64	sylibr 200	. 2 |- ((B - A) e. NN -> A < B)
66	61, 65	impbi 157	1 |- (A < B <-> (B - A) e. NN)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   - cmin 5264   <_ cle 5267  NNcn 5268   < clt 5458

This theorem is referenced by:  nnsubt 5904  cvgratlem2ALT 7183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873

Copyright terms: Public domain