Theorem nnmcom 4225

Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81.

Assertion

Ref	Expression
nnmcom	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) = (B .o A))

Proof of Theorem nnmcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3953	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x .o B) = ((/) .o B))
2		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = (/) -> (B .o x) = (B .o (/)))
3	1, 2	eqeq12d 1481	. . . 4 |- (x = (/) -> ((x .o B) = (B .o x) <-> ((/) .o B) = (B .o (/))))
4	3	imbi2d 610	. . 3 |- (x = (/) -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> ((/) .o B) = (B .o (/)))))
5		opreq1 3953	. . . . 5 |- (x = y -> (x .o B) = (y .o B))
6		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = y -> (B .o x) = (B .o y))
7	5, 6	eqeq12d 1481	. . . 4 |- (x = y -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (y .o B) = (B .o y)))
8	7	imbi2d 610	. . 3 |- (x = y -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> (y .o B) = (B .o y))))
9		opreq1 3953	. . . . 5 |- (x = suc y -> (x .o B) = (suc y .o B))
10		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = suc y -> (B .o x) = (B .o suc y))
11	9, 10	eqeq12d 1481	. . . 4 |- (x = suc y -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (suc y .o B) = (B .o suc y)))
12	11	imbi2d 610	. . 3 |- (x = suc y -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> (suc y .o B) = (B .o suc y))))
13		opreq1 3953	. . . . 5 |- (x = A -> (x .o B) = (A .o B))
14		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = A -> (B .o x) = (B .o A))
15	13, 14	eqeq12d 1481	. . . 4 |- (x = A -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (A .o B) = (B .o A)))
16	15	imbi2d 610	. . 3 |- (x = A -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> (A .o B) = (B .o A))))
17		nnm0r 4212	. . . 4 |- (B e. om -> ((/) .o B) = (/))
18		nnm0 4208	. . . 4 |- (B e. om -> (B .o (/)) = (/))
19	17, 18	eqtr4d 1502	. . 3 |- (B e. om -> ((/) .o B) = (B .o (/)))
20		nnmsucr 4224	. . . . . . 7 |- ((y e. om /\ B e. om) -> (suc y .o B) = ((y .o B) +o B))
21		nnmsuc 4210	. . . . . . . 8 |- ((B e. om /\ y e. om) -> (B .o suc y) = ((B .o y) +o B))
22	21	ancoms 436	. . . . . . 7 |- ((y e. om /\ B e. om) -> (B .o suc y) = ((B .o y) +o B))
23	20, 22	eqeq12d 1481	. . . . . 6 |- ((y e. om /\ B e. om) -> ((suc y .o B) = (B .o suc y) <-> ((y .o B) +o B) = ((B .o y) +o B)))
24		opreq1 3953	. . . . . 6 |- ((y .o B) = (B .o y) -> ((y .o B) +o B) = ((B .o y) +o B))
25	23, 24	syl5bir 210	. . . . 5 |- ((y e. om /\ B e. om) -> ((y .o B) = (B .o y) -> (suc y .o B) = (B .o suc y)))
26	25	ex 373	. . . 4 |- (y e. om -> (B e. om -> ((y .o B) = (B .o y) -> (suc y .o B) = (B .o suc y))))
27	26	a2d 13	. . 3 |- (y e. om -> ((B e. om -> (y .o B) = (B .o y)) -> (B e. om -> (suc y .o B) = (B .o suc y))))
28	4, 8, 12, 16, 19, 27	finds 3146	. 2 |- (A e. om -> (B e. om -> (A .o B) = (B .o A)))
29	28	imp 350	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) = (B .o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (/)c0 2270  suc csuc 2940  omcom 3121  (class class class)co 3948   +o coa 4114   .o comu 4115

This theorem is referenced by:  mulcompi 4996

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-oadd 4119  df-omul 4120

Copyright terms: Public domain