Theorem nnlim 3134

Description: A natural number is not a limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
nnlim	|- (A e. om -> -. Lim A)

Proof of Theorem nnlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 3130	. . 3 |- (A e. om -> Ord A)
2		ordirr 2956	. . 3 |- (Ord A -> -. A e. A)
3	1, 2	syl 10	. 2 |- (A e. om -> -. A e. A)
4		elomg 3125	. . . . 5 |- (A e. om -> (A e. om <-> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x))))
5	4	ibi 590	. . . 4 |- (A e. om -> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x)))
6	5	pm3.27d 325	. . 3 |- (A e. om -> A.x(Lim x -> A e. x))
7		limeq 2950	. . . . 5 |- (x = A -> (Lim x <-> Lim A))
8		eleq2 1527	. . . . 5 |- (x = A -> (A e. x <-> A e. A))
9	7, 8	imbi12d 624	. . . 4 |- (x = A -> ((Lim x -> A e. x) <-> (Lim A -> A e. A)))
10	9	cla4gv 1853	. . 3 |- (A e. om -> (A.x(Lim x -> A e. x) -> (Lim A -> A e. A)))
11	6, 10	mpd 26	. 2 |- (A e. om -> (Lim A -> A e. A))
12	3, 11	mtod 108	1 |- (A e. om -> -. Lim A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  Ord word 2937  Lim wlim 2939  omcom 3121

This theorem is referenced by:  omssnlim 3135  limom 3136  nnsuc 3138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-om 3122

Copyright terms: Public domain