Theorem nnind 5937

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. See nnaddclt 5940 for an example of its use. See nn0ind 6212 for induction on nonnegative integers and uzind 6205, uzind4 6450 for induction on an arbitrary set of upper integers. See indstr 6461 for strong induction.

Hypotheses

Ref	Expression
nnind.1	|- (x = 1 -> (ph <-> ps))
nnind.2	|- (x = y -> (ph <-> ch))
nnind.3	|- (x = (y + 1) -> (ph <-> th))
nnind.4	|- (x = A -> (ph <-> ta))
nnind.5	|- ps
nnind.6	|- (y e. NN -> (ch -> th))

Assertion

Ref	Expression
nnind	|- (A e. NN -> ta)

Distinct variable groups:   x,y   x,A   ps,x   ch,x   th,x   ta,x   ph,y

Proof of Theorem nnind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnind.1	. . . . . . 7 |- (x = 1 -> (ph <-> ps))
2	1	elrab 1905	. . . . . 6 |- (1 e. {x e. NN | ph} <-> (1 e. NN /\ ps))
3		1nn 5934	. . . . . 6 |- 1 e. NN
4		nnind.5	. . . . . 6 |- ps
5	2, 3, 4	mpbir2an 730	. . . . 5 |- 1 e. {x e. NN | ph}
6		ssrab2 2131	. . . . . . . 8 |- {x e. NN | ph} (_ NN
7	6	sseli 2065	. . . . . . 7 |- (y e. {x e. NN | ph} -> y e. NN)
8		peano2nn 5935	. . . . . . . . . 10 |- (y e. NN -> (y + 1) e. NN)
9	8	a1d 12	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> (y e. NN -> (y + 1) e. NN))
10		nnind.6	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> (ch -> th))
11	9, 10	anim12d 558	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> ((y e. NN /\ ch) -> ((y + 1) e. NN /\ th)))
12		nnind.2	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (ph <-> ch))
13	12	elrab 1905	. . . . . . . 8 |- (y e. {x e. NN | ph} <-> (y e. NN /\ ch))
14		nnind.3	. . . . . . . . 9 |- (x = (y + 1) -> (ph <-> th))
15	14	elrab 1905	. . . . . . . 8 |- ((y + 1) e. {x e. NN | ph} <-> ((y + 1) e. NN /\ th))
16	11, 13, 15	3imtr4g 553	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (y e. {x e. NN | ph} -> (y + 1) e. {x e. NN | ph}))
17	7, 16	mpcom 49	. . . . . 6 |- (y e. {x e. NN | ph} -> (y + 1) e. {x e. NN | ph})
18	17	rgen 1698	. . . . 5 |- A.y e. {x e. NN | ph} (y + 1) e. {x e. NN | ph}
19		nnex 5933	. . . . . . 7 |- NN e. V
20	19	rabex 2725	. . . . . 6 |- {x e. NN | ph} e. V
21	20	peano5nn 5926	. . . . 5 |- ((1 e. {x e. NN | ph} /\ A.y e. {x e. NN | ph} (y + 1) e. {x e. NN | ph}) -> NN (_ {x e. NN | ph})
22	5, 18, 21	mp2an 697	. . . 4 |- NN (_ {x e. NN | ph}
23	22	sseli 2065	. . 3 |- (A e. NN -> A e. {x e. NN | ph})
24		nnind.4	. . . 4 |- (x = A -> (ph <-> ta))
25	24	elrab 1905	. . 3 |- (A e. {x e. NN | ph} <-> (A e. NN /\ ta))
26	23, 25	sylib 198	. 2 |- (A e. NN -> (A e. NN /\ ta))
27	26	pm3.27d 325	1 |- (A e. NN -> ta)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {crab 1648   (_ wss 2047  (class class class)co 3963  1c1 5235   + caddc 5237  NNcn 5296

This theorem is referenced by:  nnindALT 5938  nn1suc 5939  nnaddclt 5940  nnmulclt 5941  nnge1t 5943  nnleltp1t 5954  nnsub 5956  nneo 6197  uzindOLD 6208  nn0ind-raph 6214  monoord 6294  seq1lem1 6309  seq1rn2 6321  seq1res 6327  ser1recl 6331  ser1add2 6338  ser1add 6339  seq1shftid 6356  expcllem 6575  expeq0t 6585  expgt1t 6592  seq1bnd 6910  ser1absdiflem 6929  bccl2t 6971  binomlem6 7071  ser1const 7171  ser1cmp 7174  ser1cmp2 7177  cvgratlem1ALT 7247  cvgratlem1 7250  ruclem25 7534  ruclem32 7541

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-n 5925

Copyright terms: Public domain