Theorem nnex 5933

Description: The set of natural numbers exists.

Assertion

Ref	Expression
nnex	|- NN e. V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 5312	. 2 |- RR e. V
2		nnssre 5927	. 2 |- NN (_ RR
3	1, 2	ssexi 2720	1 |- NN e. V

Syntax hints:   e. wcel 958  Vcvv 1811  RRcr 5233  NNcn 5296

This theorem is referenced by:  nnind 5937  seq1val 6312  ser1ft 6328  ser1cl1 6330  ser1recl 6331  ser1ref 6332  ser1f2 6334  ser11 6335  ser1p1 6336  ser1mono 6337  ser1add2 6338  ser1add 6339  exp1t 6573  expp1t 6574  ser1absdiflem 6929  facnnt 6933  fac0 6934  fac1 6935  facp1t 6936  ser1mulc 7060  climfnn 7092  climaddc 7132  climmulc 7133  caucvg3a 7164  caucvg3lem 7166  ser1f0 7170  ser1const 7171  ser1cmp 7174  ser1cmp2 7177  cvgcmp2clem 7182  infcvglem1 7221  infcvg 7224  geolim1i 7238  geoisum1 7244  geoisum1c 7245  erelem2 7320  erelem6 7324  ege2lem2 7328  ege2le3lem2 7329  acdc3lem 7486  acdc2lem2 7489  acdc5lem2 7492  acdclem 7494  nnenom 7498  xpnnen 7499  xpomen 7500  qnnen 7503  unbenlem 7504  ruclem5 7514  metelcls 7965  metcnp4 7970  metcn4i 7972  addcn 7986  subcn 7987  mulcn 7988  sqcn 8335  nmobndseqi 8440  minveclem33 8577  minveceu 8583  h2hcau 8849  h2hlm 8850  hcau 9051  hlim2 9060  chlim 9104  hlim0 9105  hlimcau 9107  hlimuni 9109  occllem6 9178  projlem17 9202  projlem25 9210  projlem26 9211  osumlem5 9582

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-n 5925

Copyright terms: Public domain