Theorem nnecl 4221

Description: Closure of exponentiation of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
nnecl	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ^o B) e. om)

Proof of Theorem nnecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3960	. . . . 5 |- (x = (/) -> (A ^o x) = (A ^o (/)))
2	1	eleq1d 1537	. . . 4 |- (x = (/) -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o (/)) e. om))
3	2	imbi2d 611	. . 3 |- (x = (/) -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o (/)) e. om)))
4		opreq2 3960	. . . . 5 |- (x = y -> (A ^o x) = (A ^o y))
5	4	eleq1d 1537	. . . 4 |- (x = y -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o y) e. om))
6	5	imbi2d 611	. . 3 |- (x = y -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o y) e. om)))
7		opreq2 3960	. . . . 5 |- (x = suc y -> (A ^o x) = (A ^o suc y))
8	7	eleq1d 1537	. . . 4 |- (x = suc y -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o suc y) e. om))
9	8	imbi2d 611	. . 3 |- (x = suc y -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
10		opreq2 3960	. . . . 5 |- (x = B -> (A ^o x) = (A ^o B))
11	10	eleq1d 1537	. . . 4 |- (x = B -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o B) e. om))
12	11	imbi2d 611	. . 3 |- (x = B -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o B) e. om)))
13		nnont 3133	. . . . 5 |- (A e. om -> A e. On)
14		oe0 4151	. . . . 5 |- (A e. On -> (A ^o (/)) = 1o)
15	13, 14	syl 10	. . . 4 |- (A e. om -> (A ^o (/)) = 1o)
16		df-1o 4123	. . . . 5 |- 1o = suc (/)
17		peano1 3144	. . . . . 6 |- (/) e. om
18		peano2 3145	. . . . . 6 |- ((/) e. om -> suc (/) e. om)
19	17, 18	ax-mp 7	. . . . 5 |- suc (/) e. om
20	16, 19	eqeltr 1541	. . . 4 |- 1o e. om
21	15, 20	syl6eqel 1553	. . 3 |- (A e. om -> (A ^o (/)) e. om)
22		oesuc 4156	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (A ^o suc y) = ((A ^o y) .o A))
23		nnont 3133	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> y e. On)
24	22, 13, 23	syl2an 454	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A ^o suc y) = ((A ^o y) .o A))
25	24	eleq1d 1537	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A ^o suc y) e. om <-> ((A ^o y) .o A) e. om))
26		nnmcl 4220	. . . . . . . . 9 |- (((A ^o y) e. om /\ A e. om) -> ((A ^o y) .o A) e. om)
27	25, 26	syl5bir 210	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A ^o y) e. om /\ A e. om) -> (A ^o suc y) e. om))
28	27	exp4b 379	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (y e. om -> ((A ^o y) e. om -> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om))))
29	28	com24 37	. . . . . 6 |- (A e. om -> (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (y e. om -> (A ^o suc y) e. om))))
30	29	pm2.43i 64	. . . . 5 |- (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (y e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
31	30	com3r 35	. . . 4 |- (y e. om -> (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
32	31	a2d 13	. . 3 |- (y e. om -> ((A e. om -> (A ^o y) e. om) -> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
33	3, 6, 9, 12, 21, 32	finds 3151	. 2 |- (B e. om -> (A e. om -> (A ^o B) e. om))
34	33	impcom 351	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ^o B) e. om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  (/)c0 2276  Oncon0 2943  suc csuc 2945  omcom 3126  (class class class)co 3954  1oc1o 4118   .o comu 4121   ^o coe 4122

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-oexp 4127

Copyright terms: Public domain