HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem nndivtrt 5907
Description: Transitive property of divisibility: if A divides B and B divides C, then A divides C.
Assertion
Ref Expression
nndivtrt |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) /\ ((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN)) -> (C / A) e. NN)
Proof of Theorem nndivtrt
StepHypRef Expression
1 divmul24t 5739 . . . . . 6 |- ((((B e. CC /\ A e. CC) /\ (C e. CC /\ B e. CC)) /\ (A =/= 0 /\ B =/= 0)) -> ((B / A) x. (C / B)) = ((B / B) x. (C / A)))
2 nncnt 5878 . . . . . . . . . 10 |- (B e. NN -> B e. CC)
3 nncnt 5878 . . . . . . . . . 10 |- (A e. NN -> A e. CC)
42, 3anim12i 333 . . . . . . . . 9 |- ((B e. NN /\ A e. NN) -> (B e. CC /\ A e. CC))
54ancoms 436 . . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (B e. CC /\ A e. CC))
653adant3 797 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (B e. CC /\ A e. CC))
72anim2i 335 . . . . . . . . 9 |- ((C e. CC /\ B e. NN) -> (C e. CC /\ B e. CC))
87ancoms 436 . . . . . . . 8 |- ((B e. NN /\ C e. CC) -> (C e. CC /\ B e. CC))
983adant1 795 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (C e. CC /\ B e. CC))
106, 9jca 288 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> ((B e. CC /\ A e. CC) /\ (C e. CC /\ B e. CC)))
11 nnne0t 5897 . . . . . . . 8 |- (A e. NN -> A =/= 0)
12 nnne0t 5897 . . . . . . . 8 |- (B e. NN -> B =/= 0)
1311, 12anim12i 333 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A =/= 0 /\ B =/= 0))
14133adant3 797 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (A =/= 0 /\ B =/= 0))
151, 10, 14sylanc 471 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> ((B / A) x. (C / B)) = ((B / B) x. (C / A)))
16 dividt 5722 . . . . . . . 8 |- ((B e. CC /\ B =/= 0) -> (B / B) = 1)
1716, 2, 12sylanc 471 . . . . . . 7 |- (B e. NN -> (B / B) = 1)
1817opreq1d 3960 . . . . . 6 |- (B e. NN -> ((B / B) x. (C / A)) = (1 x. (C / A)))
19183ad2ant2 799 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> ((B / B) x. (C / A)) = (1 x. (C / A)))
20 divclt 5681 . . . . . . . . . 10 |- ((C e. CC /\ A e. CC /\ A =/= 0) -> (C / A) e. CC)
21203expb 832 . . . . . . . . 9 |- ((C e. CC /\ (A e. CC /\ A =/= 0)) -> (C / A) e. CC)
223, 11jca 288 . . . . . . . . 9 |- (A e. NN -> (A e. CC /\ A =/= 0))
2321, 22sylan2 451 . . . . . . . 8 |- ((C e. CC /\ A e. NN) -> (C / A) e. CC)
2423ancoms 436 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ C e. CC) -> (C / A) e. CC)
25 mulid2t 5389 . . . . . . 7 |- ((C / A) e. CC -> (1 x. (C / A)) = (C / A))
2624, 25syl 10 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ C e. CC) -> (1 x. (C / A)) = (C / A))
27263adant2 796 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (1 x. (C / A)) = (C / A))
2815, 19, 273eqtrd 1503 . . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> ((B / A) x. (C / B)) = (C / A))
2928eleq1d 1532 . . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (((B / A) x. (C / B)) e. NN <-> (C / A) e. NN))
30 nnmulclt 5889 . . 3 |- (((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN) -> ((B / A) x. (C / B)) e. NN)
3129, 30syl5bi 208 . 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN) -> (C / A) e. NN))
3231imp 350 1 |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) /\ ((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN)) -> (C / A) e. NN)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   / cdiv 5266  NNcn 5268
This theorem is referenced by:  permnnt 6911  infpnlem1 7449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873
Copyright terms: Public domain