Theorem nnawordex 4250

Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
nnawordex	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A (_ B <-> E.x e. om (A +o x) = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem nnawordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oawordex 4191	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> E.x e. On (A +o x) = B))
2		nnont 3138	. . . 4 |- (B e. om -> B e. On)
3	1, 2	sylan2 451	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (A (_ B <-> E.x e. On (A +o x) = B))
4		eleq1 1534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A +o x) = B -> ((A +o x) e. om <-> B e. om))
5	4	bicomd 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A +o x) = B -> (B e. om <-> (A +o x) e. om))
6		nnarcl 4232	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. On /\ x e. On) -> ((A +o x) e. om <-> (A e. om /\ x e. om)))
7	5, 6	sylan9bbr 541	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (A +o x) = B) -> (B e. om <-> (A e. om /\ x e. om)))
8		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ x e. om) -> x e. om)
9	7, 8	syl6bi 214	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (A +o x) = B) -> (B e. om -> x e. om))
10	9	exp31 376	. . . . . . . . 9 |- (A e. On -> (x e. On -> ((A +o x) = B -> (B e. om -> x e. om))))
11	10	com23 32	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> ((A +o x) = B -> (x e. On -> (B e. om -> x e. om))))
12	11	com24 37	. . . . . . 7 |- (A e. On -> (B e. om -> (x e. On -> ((A +o x) = B -> x e. om))))
13	12	imp4b 365	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ (A +o x) = B) -> x e. om))
14		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (A +o x) = B) -> (A +o x) = B)
15	14	a1i 8	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ (A +o x) = B) -> (A +o x) = B))
16	13, 15	jcad 600	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ (A +o x) = B) -> (x e. om /\ (A +o x) = B)))
17		nnont 3138	. . . . . 6 |- (x e. om -> x e. On)
18	17	anim1i 334	. . . . 5 |- ((x e. om /\ (A +o x) = B) -> (x e. On /\ (A +o x) = B))
19	16, 18	impbid1 517	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ (A +o x) = B) <-> (x e. om /\ (A +o x) = B)))
20	19	rexbidv2 1666	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (E.x e. On (A +o x) = B <-> E.x e. om (A +o x) = B))
21	3, 20	bitrd 528	. 2 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (A (_ B <-> E.x e. om (A +o x) = B))
22		nnont 3138	. 2 |- (A e. om -> A e. On)
23	21, 22	sylan 448	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A (_ B <-> E.x e. om (A +o x) = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646   (_ wss 2047  Oncon0 2948  omcom 3131  (class class class)co 3963   +o coa 4130

This theorem is referenced by:  unfilem1 4548

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135

Copyright terms: Public domain