Theorem nnarcl 4216

Description: Reverse closure law for addition of natural numbers. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 62 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
nnarcl	|- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om <-> (A e. om /\ B e. om)))

Proof of Theorem nnarcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaword1 4170	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> A (_ (A +o B))
2		eloni 2948	. . . . . . 7 |- (A e. On -> Ord A)
3		ordom 3131	. . . . . . . 8 |- Ord om
4		ordtr2 2992	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord om) -> ((A (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> A e. om))
5	3, 4	mpan2 694	. . . . . . 7 |- (Ord A -> ((A (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> A e. om))
6	2, 5	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. On -> ((A (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> A e. om))
7	6	exp3a 375	. . . . 5 |- (A e. On -> (A (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> A e. om)))
8	7	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> A e. om)))
9	1, 8	mpd 26	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om -> A e. om))
10		oaword2 4171	. . . . 5 |- ((B e. On /\ A e. On) -> B (_ (A +o B))
11	10	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> B (_ (A +o B))
12		eloni 2948	. . . . . . 7 |- (B e. On -> Ord B)
13		ordtr2 2992	. . . . . . . 8 |- ((Ord B /\ Ord om) -> ((B (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> B e. om))
14	3, 13	mpan2 694	. . . . . . 7 |- (Ord B -> ((B (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> B e. om))
15	12, 14	syl 10	. . . . . 6 |- (B e. On -> ((B (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> B e. om))
16	15	exp3a 375	. . . . 5 |- (B e. On -> (B (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> B e. om)))
17	16	adantl 388	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (B (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> B e. om)))
18	11, 17	mpd 26	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om -> B e. om))
19	9, 18	jcad 598	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om -> (A e. om /\ B e. om)))
20		nnacl 4213	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) e. om)
21	19, 20	impbid1 515	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om <-> (A e. om /\ B e. om)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955   (_ wss 2037  Ord word 2937  Oncon0 2938  omcom 3121  (class class class)co 3948   +o coa 4114

This theorem is referenced by:  nnaordex 4233  nnawordex 4234

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-oadd 4119

Copyright terms: Public domain