Theorem nnaddclt 5888

Description: Closure of addition of natural numbers, proved by induction on the second addend.

Assertion

Ref	Expression
nnaddclt	|- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A + B) e. NN)

Proof of Theorem nnaddclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = 1 -> (A + x) = (A + 1))
2	1	eleq1d 1532	. . . 4 |- (x = 1 -> ((A + x) e. NN <-> (A + 1) e. NN))
3	2	imbi2d 610	. . 3 |- (x = 1 -> ((A e. NN -> (A + x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A + 1) e. NN)))
4		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = y -> (A + x) = (A + y))
5	4	eleq1d 1532	. . . 4 |- (x = y -> ((A + x) e. NN <-> (A + y) e. NN))
6	5	imbi2d 610	. . 3 |- (x = y -> ((A e. NN -> (A + x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A + y) e. NN)))
7		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = (y + 1) -> (A + x) = (A + (y + 1)))
8	7	eleq1d 1532	. . . 4 |- (x = (y + 1) -> ((A + x) e. NN <-> (A + (y + 1)) e. NN))
9	8	imbi2d 610	. . 3 |- (x = (y + 1) -> ((A e. NN -> (A + x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A + (y + 1)) e. NN)))
10		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = B -> (A + x) = (A + B))
11	10	eleq1d 1532	. . . 4 |- (x = B -> ((A + x) e. NN <-> (A + B) e. NN))
12	11	imbi2d 610	. . 3 |- (x = B -> ((A e. NN -> (A + x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A + B) e. NN)))
13		peano2nn 5883	. . 3 |- (A e. NN -> (A + 1) e. NN)
14		ax1cn 5241	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
15		axaddass 5249	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC) -> ((A + y) + 1) = (A + (y + 1)))
16	14, 15	mp3an3 902	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> ((A + y) + 1) = (A + (y + 1)))
17		nncnt 5878	. . . . . . . 8 |- (A e. NN -> A e. CC)
18		nncnt 5878	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> y e. CC)
19	16, 17, 18	syl2an 454	. . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> ((A + y) + 1) = (A + (y + 1)))
20	19	eleq1d 1532	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> (((A + y) + 1) e. NN <-> (A + (y + 1)) e. NN))
21		peano2nn 5883	. . . . . 6 |- ((A + y) e. NN -> ((A + y) + 1) e. NN)
22	20, 21	syl5bi 208	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> ((A + y) e. NN -> (A + (y + 1)) e. NN))
23	22	expcom 374	. . . 4 |- (y e. NN -> (A e. NN -> ((A + y) e. NN -> (A + (y + 1)) e. NN)))
24	23	a2d 13	. . 3 |- (y e. NN -> ((A e. NN -> (A + y) e. NN) -> (A e. NN -> (A + (y + 1)) e. NN)))
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 5885	. 2 |- (B e. NN -> (A e. NN -> (A + B) e. NN))
26	25	impcom 351	1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A + B) e. NN)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  CCcc 5204  1c1 5207   + caddc 5209  NNcn 5268

This theorem is referenced by:  nnmulclt 5889  nnaddm1clt 5905  2nn 5946  3nn 5947  4nn 5949  nn0addclt 6067  nnnn0addclt 6072  ser1absdiflem 6866  bccl2t 6909  climubi 7089  caucvglem6 7098  cvgratlem1ALT 7182  cvgratlem1 7185  xpnnen 7441  ruclem30 7482  ruclem31 7483  ruclem32 7484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-n 5873

Copyright terms: Public domain