Theorem nnacom 4223

Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81.

Assertion

Ref	Expression
nnacom	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) = (B +o A))

Proof of Theorem nnacom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3959	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x +o B) = ((/) +o B))
2		opreq2 3960	. . . . 5 |- (x = (/) -> (B +o x) = (B +o (/)))
3	1, 2	eqeq12d 1486	. . . 4 |- (x = (/) -> ((x +o B) = (B +o x) <-> ((/) +o B) = (B +o (/))))
4	3	imbi2d 611	. . 3 |- (x = (/) -> ((B e. om -> (x +o B) = (B +o x)) <-> (B e. om -> ((/) +o B) = (B +o (/)))))
5		opreq1 3959	. . . . 5 |- (x = y -> (x +o B) = (y +o B))
6		opreq2 3960	. . . . 5 |- (x = y -> (B +o x) = (B +o y))
7	5, 6	eqeq12d 1486	. . . 4 |- (x = y -> ((x +o B) = (B +o x) <-> (y +o B) = (B +o y)))
8	7	imbi2d 611	. . 3 |- (x = y -> ((B e. om -> (x +o B) = (B +o x)) <-> (B e. om -> (y +o B) = (B +o y))))
9		opreq1 3959	. . . . 5 |- (x = suc y -> (x +o B) = (suc y +o B))
10		opreq2 3960	. . . . 5 |- (x = suc y -> (B +o x) = (B +o suc y))
11	9, 10	eqeq12d 1486	. . . 4 |- (x = suc y -> ((x +o B) = (B +o x) <-> (suc y +o B) = (B +o suc y)))
12	11	imbi2d 611	. . 3 |- (x = suc y -> ((B e. om -> (x +o B) = (B +o x)) <-> (B e. om -> (suc y +o B) = (B +o suc y))))
13		opreq1 3959	. . . . 5 |- (x = A -> (x +o B) = (A +o B))
14		opreq2 3960	. . . . 5 |- (x = A -> (B +o x) = (B +o A))
15	13, 14	eqeq12d 1486	. . . 4 |- (x = A -> ((x +o B) = (B +o x) <-> (A +o B) = (B +o A)))
16	15	imbi2d 611	. . 3 |- (x = A -> ((B e. om -> (x +o B) = (B +o x)) <-> (B e. om -> (A +o B) = (B +o A))))
17		nna0r 4217	. . . 4 |- (B e. om -> ((/) +o B) = B)
18		nna0 4213	. . . 4 |- (B e. om -> (B +o (/)) = B)
19	17, 18	eqtr4d 1507	. . 3 |- (B e. om -> ((/) +o B) = (B +o (/)))
20		opreq2 3960	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (/) -> (suc y +o x) = (suc y +o (/)))
21		opreq2 3960	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (/) -> (y +o x) = (y +o (/)))
22		suceq 3029	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y +o x) = (y +o (/)) -> suc (y +o x) = suc (y +o (/)))
23	21, 22	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (/) -> suc (y +o x) = suc (y +o (/)))
24	20, 23	eqeq12d 1486	. . . . . . . . . 10 |- (x = (/) -> ((suc y +o x) = suc (y +o x) <-> (suc y +o (/)) = suc (y +o (/))))
25	24	imbi2d 611	. . . . . . . . 9 |- (x = (/) -> ((y e. om -> (suc y +o x) = suc (y +o x)) <-> (y e. om -> (suc y +o (/)) = suc (y +o (/)))))
26		opreq2 3960	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> (suc y +o x) = (suc y +o z))
27		opreq2 3960	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = z -> (y +o x) = (y +o z))
28		suceq 3029	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y +o x) = (y +o z) -> suc (y +o x) = suc (y +o z))
29	27, 28	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> suc (y +o x) = suc (y +o z))
30	26, 29	eqeq12d 1486	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> ((suc y +o x) = suc (y +o x) <-> (suc y +o z) = suc (y +o z)))
31	30	imbi2d 611	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> ((y e. om -> (suc y +o x) = suc (y +o x)) <-> (y e. om -> (suc y +o z) = suc (y +o z))))
32		opreq2 3960	. . . . . . . . . . 11 |- (x = suc z -> (suc y +o x) = (suc y +o suc z))
33		opreq2 3960	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = suc z -> (y +o x) = (y +o suc z))
34		suceq 3029	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y +o x) = (y +o suc z) -> suc (y +o x) = suc (y +o suc z))
35	33, 34	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (x = suc z -> suc (y +o x) = suc (y +o suc z))
36	32, 35	eqeq12d 1486	. . . . . . . . . 10 |- (x = suc z -> ((suc y +o x) = suc (y +o x) <-> (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z)))
37	36	imbi2d 611	. . . . . . . . 9 |- (x = suc z -> ((y e. om -> (suc y +o x) = suc (y +o x)) <-> (y e. om -> (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
38		opreq2 3960	. . . . . . . . . . 11 |- (x = B -> (suc y +o x) = (suc y +o B))
39		opreq2 3960	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = B -> (y +o x) = (y +o B))
40		suceq 3029	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y +o x) = (y +o B) -> suc (y +o x) = suc (y +o B))
41	39, 40	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (x = B -> suc (y +o x) = suc (y +o B))
42	38, 41	eqeq12d 1486	. . . . . . . . . 10 |- (x = B -> ((suc y +o x) = suc (y +o x) <-> (suc y +o B) = suc (y +o B)))
43	42	imbi2d 611	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> ((y e. om -> (suc y +o x) = suc (y +o x)) <-> (y e. om -> (suc y +o B) = suc (y +o B))))
44		peano2b 3142	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om <-> suc y e. om)
45		nna0 4213	. . . . . . . . . . 11 |- (suc y e. om -> (suc y +o (/)) = suc y)
46	44, 45	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> (suc y +o (/)) = suc y)
47		nna0 4213	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> (y +o (/)) = y)
48		suceq 3029	. . . . . . . . . . 11 |- ((y +o (/)) = y -> suc (y +o (/)) = suc y)
49	47, 48	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> suc (y +o (/)) = suc y)
50	46, 49	eqtr4d 1507	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> (suc y +o (/)) = suc (y +o (/)))
51		oasuc 4153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((suc y e. On /\ z e. On) -> (suc y +o suc z) = suc (suc y +o z))
52		nnont 3133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. om -> y e. On)
53		suceloni 3057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. On -> suc y e. On)
54	52, 53	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. om -> suc y e. On)
55		nnont 3133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. om -> z e. On)
56	51, 54, 55	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. om /\ z e. om) -> (suc y +o suc z) = suc (suc y +o z))
57	52, 55	anim12i 333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. om /\ z e. om) -> (y e. On /\ z e. On))
58		oasuc 4153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. On /\ z e. On) -> (y +o suc z) = suc (y +o z))
59		suceq 3029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y +o suc z) = suc (y +o z) -> suc (y +o suc z) = suc suc (y +o z))
60	57, 58, 59	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. om /\ z e. om) -> suc (y +o suc z) = suc suc (y +o z))
61	56, 60	eqeq12d 1486	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. om /\ z e. om) -> ((suc y +o suc z) = suc (y +o suc z) <-> suc (suc y +o z) = suc suc (y +o z)))
62		suceq 3029	. . . . . . . . . . . 12 |- ((suc y +o z) = suc (y +o z) -> suc (suc y +o z) = suc suc (y +o z))
63	61, 62	syl5bir 210	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. om /\ z e. om) -> ((suc y +o z) = suc (y +o z) -> (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z)))
64	63	expcom 374	. . . . . . . . . 10 |- (z e. om -> (y e. om -> ((suc y +o z) = suc (y +o z) -> (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
65	64	a2d 13	. . . . . . . . 9 |- (z e. om -> ((y e. om -> (suc y +o z) = suc (y +o z)) -> (y e. om -> (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
66	25, 31, 37, 43, 50, 65	finds 3151	. . . . . . . 8 |- (B e. om -> (y e. om -> (suc y +o B) = suc (y +o B)))
67	66	imp 350	. . . . . . 7 |- ((B e. om /\ y e. om) -> (suc y +o B) = suc (y +o B))
68		nnasuc 4215	. . . . . . 7 |- ((B e. om /\ y e. om) -> (B +o suc y) = suc (B +o y))
69	67, 68	eqeq12d 1486	. . . . . 6 |- ((B e. om /\ y e. om) -> ((suc y +o B) = (B +o suc y) <-> suc (y +o B) = suc (B +o y)))
70		suceq 3029	. . . . . 6 |- ((y +o B) = (B +o y) -> suc (y +o B) = suc (B +o y))
71	69, 70	syl5bir 210	. . . . 5 |- ((B e. om /\ y e. om) -> ((y +o B) = (B +o y) -> (suc y +o B) = (B +o suc y)))
72	71	expcom 374	. . . 4 |-