Theorem nnacl 4213

Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59.

Assertion

Ref	Expression
nnacl	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) e. om)

Proof of Theorem nnacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = (/) -> (A +o x) = (A +o (/)))
2	1	eleq1d 1532	. . . 4 |- (x = (/) -> ((A +o x) e. om <-> (A +o (/)) e. om))
3	2	imbi2d 610	. . 3 |- (x = (/) -> ((A e. om -> (A +o x) e. om) <-> (A e. om -> (A +o (/)) e. om)))
4		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = y -> (A +o x) = (A +o y))
5	4	eleq1d 1532	. . . 4 |- (x = y -> ((A +o x) e. om <-> (A +o y) e. om))
6	5	imbi2d 610	. . 3 |- (x = y -> ((A e. om -> (A +o x) e. om) <-> (A e. om -> (A +o y) e. om)))
7		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = suc y -> (A +o x) = (A +o suc y))
8	7	eleq1d 1532	. . . 4 |- (x = suc y -> ((A +o x) e. om <-> (A +o suc y) e. om))
9	8	imbi2d 610	. . 3 |- (x = suc y -> ((A e. om -> (A +o x) e. om) <-> (A e. om -> (A +o suc y) e. om)))
10		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = B -> (A +o x) = (A +o B))
11	10	eleq1d 1532	. . . 4 |- (x = B -> ((A +o x) e. om <-> (A +o B) e. om))
12	11	imbi2d 610	. . 3 |- (x = B -> ((A e. om -> (A +o x) e. om) <-> (A e. om -> (A +o B) e. om)))
13		nna0 4207	. . . . 5 |- (A e. om -> (A +o (/)) = A)
14	13	eleq1d 1532	. . . 4 |- (A e. om -> ((A +o (/)) e. om <-> A e. om))
15	14	ibir 591	. . 3 |- (A e. om -> (A +o (/)) e. om)
16		nnasuc 4209	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o suc y) = suc (A +o y))
17	16	eleq1d 1532	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A +o suc y) e. om <-> suc (A +o y) e. om))
18		peano2 3140	. . . . . 6 |- ((A +o y) e. om -> suc (A +o y) e. om)
19	17, 18	syl5bir 210	. . . . 5 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A +o y) e. om -> (A +o suc y) e. om))
20	19	expcom 374	. . . 4 |- (y e. om -> (A e. om -> ((A +o y) e. om -> (A +o suc y) e. om)))
21	20	a2d 13	. . 3 |- (y e. om -> ((A e. om -> (A +o y) e. om) -> (A e. om -> (A +o suc y) e. om)))
22	3, 6, 9, 12, 15, 21	finds 3146	. 2 |- (B e. om -> (A e. om -> (A +o B) e. om))
23	22	impcom 351	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) e. om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (/)c0 2270  suc csuc 2940  omcom 3121  (class class class)co 3948   +o coa 4114

This theorem is referenced by:  nnmcl 4214  nnarcl 4216  oaabslem 4235  nneob 4239  unfilem1 4524  unfi 4528  addclpi 4992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-oadd 4119

Copyright terms: Public domain