Theorem nn2get 5890

Description: There exists a natural number greater than or equal to any two others.

Assertion

Ref	Expression
nn2get	|- ((A e. NN /\ B e. NN) -> E.x e. NN (A <_ x /\ B <_ x))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem nn2get

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnret 5877	. . 3 |- (A e. NN -> A e. RR)
2	1	adantr 389	. 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> A e. RR)
3		nnret 5877	. . 3 |- (B e. NN -> B e. RR)
4	3	adantl 388	. 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> B e. RR)
5		leidt 5504	. . . . . . 7 |- (B e. RR -> B <_ B)
6	5	biantrud 724	. . . . . 6 |- (B e. RR -> (A <_ B <-> (A <_ B /\ B <_ B)))
7	6	biimpa 416	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ A <_ B) -> (A <_ B /\ B <_ B))
8	7, 3	sylan 448	. . . 4 |- ((B e. NN /\ A <_ B) -> (A <_ B /\ B <_ B))
9		breq2 2613	. . . . . 6 |- (x = B -> (A <_ x <-> A <_ B))
10		breq2 2613	. . . . . 6 |- (x = B -> (B <_ x <-> B <_ B))
11	9, 10	anbi12d 626	. . . . 5 |- (x = B -> ((A <_ x /\ B <_ x) <-> (A <_ B /\ B <_ B)))
12	11	rcla4ev 1868	. . . 4 |- ((B e. NN /\ (A <_ B /\ B <_ B)) -> E.x e. NN (A <_ x /\ B <_ x))
13	8, 12	syldan 467	. . 3 |- ((B e. NN /\ A <_ B) -> E.x e. NN (A <_ x /\ B <_ x))
14	13	adantll 392	. 2 |- (((A e. NN /\ B e. NN) /\ A <_ B) -> E.x e. NN (A <_ x /\ B <_ x))
15		leidt 5504	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A <_ A)
16	15	anim1i 334	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B <_ A) -> (A <_ A /\ B <_ A))
17	16, 1	sylan 448	. . . 4 |- ((A e. NN /\ B <_ A) -> (A <_ A /\ B <_ A))
18		breq2 2613	. . . . . 6 |- (x = A -> (A <_ x <-> A <_ A))
19		breq2 2613	. . . . . 6 |- (x = A -> (B <_ x <-> B <_ A))
20	18, 19	anbi12d 626	. . . . 5 |- (x = A -> ((A <_ x /\ B <_ x) <-> (A <_ A /\ B <_ A)))
21	20	rcla4ev 1868	. . . 4 |- ((A e. NN /\ (A <_ A /\ B <_ A)) -> E.x e. NN (A <_ x /\ B <_ x))
22	17, 21	syldan 467	. . 3 |- ((A e. NN /\ B <_ A) -> E.x e. NN (A <_ x /\ B <_ x))
23	22	adantlr 393	. 2 |- (((A e. NN /\ B e. NN) /\ B <_ A) -> E.x e. NN (A <_ x /\ B <_ x))
24	2, 4, 14, 23	lecase 5595	1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> E.x e. NN (A <_ x /\ B <_ x))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638   class class class wbr 2609  RRcr 5205   <_ cle 5267  NNcn 5268

This theorem is referenced by:  hlimunii 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873

Copyright terms: Public domain