Theorem nn0subt 6108

Description: Subtraction of nonnegative integers.

Assertion

Ref	Expression
nn0subt	|- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M <_ N <-> (N - M) e. NN0))

Proof of Theorem nn0subt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsubt 5904	. . . . . . . 8 |- ((M e. NN /\ N e. NN) -> (M < N <-> (N - M) e. NN))
2	1	ex 373	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> (N e. NN -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
3		breq2 2613	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> (M < N <-> M < 0))
4		opreq1 3953	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> (N - M) = (0 - M))
5	4	eleq1d 1532	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> ((N - M) e. NN <-> (0 - M) e. NN))
6	3, 5	bibi12d 627	. . . . . . . 8 |- (N = 0 -> ((M < N <-> (N - M) e. NN) <-> (M < 0 <-> (0 - M) e. NN)))
7		nnret 5877	. . . . . . . . . 10 |- (M e. NN -> M e. RR)
8		lt0neg1t 5641	. . . . . . . . . 10 |- (M e. RR -> (M < 0 <-> 0 < -uM))
9	7, 8	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> (M < 0 <-> 0 < -uM))
10		nnnegz 6085	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. NN -> -uM e. ZZ)
11		elnnz 6092	. . . . . . . . . . . 12 |- (-uM e. NN <-> (-uM e. ZZ /\ 0 < -uM))
12	11	baib 683	. . . . . . . . . . 11 |- (-uM e. ZZ -> (-uM e. NN <-> 0 < -uM))
13	10, 12	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (M e. NN -> (-uM e. NN <-> 0 < -uM))
14		df-neg 5330	. . . . . . . . . . 11 |- -uM = (0 - M)
15	14	eleq1i 1529	. . . . . . . . . 10 |- (-uM e. NN <-> (0 - M) e. NN)
16	13, 15	syl5rbbr 533	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> (0 < -uM <-> (0 - M) e. NN))
17	9, 16	bitrd 526	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> (M < 0 <-> (0 - M) e. NN))
18	6, 17	syl5cbir 211	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> (N = 0 -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
19	2, 18	jaod 424	. . . . . 6 |- (M e. NN -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
20		breq1 2612	. . . . . . . . 9 |- (M = 0 -> (M < N <-> 0 < N))
21		opreq2 3954	. . . . . . . . . 10 |- (M = 0 -> (N - M) = (N - 0))
22	21	eleq1d 1532	. . . . . . . . 9 |- (M = 0 -> ((N - M) e. NN <-> (N - 0) e. NN))
23	20, 22	bibi12d 627	. . . . . . . 8 |- (M = 0 -> ((M < N <-> (N - M) e. NN) <-> (0 < N <-> (N - 0) e. NN)))
24		nnzt 6100	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> N e. ZZ)
25		zcnt 6087	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
26		subid1t 5368	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. CC -> (N - 0) = N)
27	26	eleq1d 1532	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. CC -> ((N - 0) e. NN <-> N e. NN))
28	25, 27	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (N e. ZZ -> ((N - 0) e. NN <-> N e. NN))
29		elnnz 6092	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
30	29	baib 683	. . . . . . . . . 10 |- (N e. ZZ -> (N e. NN <-> 0 < N))
31	28, 30	bitr2d 527	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> (0 < N <-> (N - 0) e. NN))
32	24, 31	syl 10	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (0 < N <-> (N - 0) e. NN))
33	23, 32	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (N e. NN -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
34		0re 5412	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
35	34	ltnr 5583	. . . . . . . . . 10 |- -. 0 < 0
36		0nnn 5896	. . . . . . . . . . 11 |- -. 0 e. NN
37		0cn 5300	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
38	37	subid 5363	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 - 0) = 0
39	38	eleq1i 1529	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 - 0) e. NN <-> 0 e. NN)
40	36, 39	mtbir 192	. . . . . . . . . 10 |- -. (0 - 0) e. NN
41	35, 40	2false 717	. . . . . . . . 9 |- (0 < 0 <-> (0 - 0) e. NN)
42		breq2 2613	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> (0 < N <-> 0 < 0))
43		opreq1 3953	. . . . . . . . . . 11 |- (N = 0 -> (N - 0) = (0 - 0))
44	43	eleq1d 1532	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> ((N - 0) e. NN <-> (0 - 0) e. NN))
45	42, 44	bibi12d 627	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> ((0 < N <-> (N - 0) e. NN) <-> (0 < 0 <-> (0 - 0) e. NN)))
46	41, 45	mpbiri 194	. . . . . . . 8 |- (N = 0 -> (0 < N <-> (N - 0) e. NN))
47	23, 46	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (N = 0 -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
48	33, 47	jaod 424	. . . . . 6 |- (M = 0 -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
49	19, 48	jaoi 341	. . . . 5 |- ((M e. NN \/ M = 0) -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (M < N <-> (N - M) e. NN)))
50	49	imp 350	. . . 4 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M < N <-> (N - M) e. NN))
51		subeq0t 5375	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> ((N - M) = 0 <-> N = M))
52		eqcom 1469	. . . . . . 7 |- (M = N <-> N = M)
53	51, 52	syl6rbbr 537	. . . . . 6 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> (M = N <-> (N - M) = 0))
54	53	ancoms 436	. . . . 5 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (M = N <-> (N - M) = 0))
55		nncnt 5878	. . . . . 6 |- (M e. NN -> M e. CC)
56		eleq1 1526	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (M e. CC <-> 0 e. CC))
57	37, 56	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (M = 0 -> M e. CC)
58	55, 57	jaoi 341	. . . . 5 |- ((M e. NN \/ M = 0) -> M e. CC)
59		nncnt 5878	. . . . . 6 |- (N e. NN -> N e. CC)
60		eleq1 1526	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> (N e. CC <-> 0 e. CC))
61	37, 60	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (N = 0 -> N e. CC)
62	59, 61	jaoi 341	. . . . 5 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> N e. CC)
63	54, 58, 62	syl2an 454	. . . 4 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M = N <-> (N - M) = 0))
64	50, 63	orbi12d 625	. . 3 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> ((M < N \/ M = N) <-> ((N - M) e. NN \/ (N - M) = 0)))
65		leloet 5491	. . . 4 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
66		eleq1 1526	. . . . . 6 |- (M = 0 -> (M e. RR <-> 0 e. RR))
67	34, 66	mpbiri 194	. . . . 5 |- (M = 0 -> M e. RR)
68	7, 67	jaoi 341	. . . 4 |- ((M e. NN \/ M = 0) -> M e. RR)
69		nnret 5877	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. RR)
70		eleq1 1526	. . . . . 6 |- (N = 0 -> (N e. RR <-> 0 e. RR))
71	34, 70	mpbiri 194	. . . . 5 |- (N = 0 -> N e. RR)
72	69, 71	jaoi 341	. . . 4 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> N e. RR)
73	65, 68, 72	syl2an 454	. . 3 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
74		elnn0 6048	. . . 4 |- ((N - M) e. NN0 <-> ((N - M) e. NN \/ (N - M) = 0))
75	74	a1i 8	. . 3 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> ((N - M) e. NN0 <-> ((N - M) e. NN \/ (N - M) = 0)))
76	64, 73, 75	3bitr4d 548	. 2 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M <_ N <-> (N - M) e. NN0))
77		elnn0 6048	. 2 |- (M e. NN0 <-> (M e. NN \/ M = 0))
78		elnn0 6048	. 2 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
79	76, 77, 78	syl2anb 455	1 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M <_ N <-> (N - M) e. NN0))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   - cmin 5264  -ucneg 5265   <_ cle 5267  NNcn 5268  NN0cn0 5269  ZZcz 5270   < clt 5458

This theorem is referenced by:  nn0sub2t 6109  zaddclt 6112  expsubt 6529  bccmplt 6900  bcpasc2 6905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0