Theorem nn0opthlem2 6595

Description: Lemma for nn0opth 6596.

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opth.1	|- A e. NN0
nn0opth.2	|- B e. NN0
nn0opth.3	|- C e. NN0
nn0opth.4	|- D e. NN0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem2	|- ((B <_ A /\ D <_ C) -> (A < C -> -. ((A x. A) + B) = ((C x. C) + D)))

Proof of Theorem nn0opthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opth.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. NN0
2	1	nn0re 6057	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
3	2, 2	remulcl 5307	. . . . . . . 8 |- (A x. A) e. RR
4		nn0opth.2	. . . . . . . . 9 |- B e. NN0
5	4	nn0re 6057	. . . . . . . 8 |- B e. RR
6	3, 5	readdcl 5306	. . . . . . 7 |- ((A x. A) + B) e. RR
7		2re 5926	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
8	7, 2	remulcl 5307	. . . . . . . 8 |- (2 x. A) e. RR
9	3, 8	readdcl 5306	. . . . . . 7 |- ((A x. A) + (2 x. A)) e. RR
10		nn0opth.3	. . . . . . . . 9 |- C e. NN0
11	10	nn0re 6057	. . . . . . . 8 |- C e. RR
12	11, 11	remulcl 5307	. . . . . . 7 |- (C x. C) e. RR
13	6, 9, 12	lelttr 5560	. . . . . 6 |- ((((A x. A) + B) <_ ((A x. A) + (2 x. A)) /\ ((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C)) -> ((A x. A) + B) < (C x. C))
14	1, 4	nn0lele2x 6082	. . . . . . 7 |- (B <_ A -> B <_ (2 x. A))
15	5, 8, 3	leadd2 5567	. . . . . . 7 |- (B <_ (2 x. A) <-> ((A x. A) + B) <_ ((A x. A) + (2 x. A)))
16	14, 15	sylib 198	. . . . . 6 |- (B <_ A -> ((A x. A) + B) <_ ((A x. A) + (2 x. A)))
17	1, 10	nn0opthlem1 6594	. . . . . . 7 |- (A < C <-> ((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C))
18	17	biimp 151	. . . . . 6 |- (A < C -> ((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C))
19	13, 16, 18	syl2an 454	. . . . 5 |- ((B <_ A /\ A < C) -> ((A x. A) + B) < (C x. C))
20		nn0opth.4	. . . . . . 7 |- D e. NN0
21	12, 20	nn0addge1 6079	. . . . . 6 |- (C x. C) <_ ((C x. C) + D)
22	20	nn0re 6057	. . . . . . . 8 |- D e. RR
23	12, 22	readdcl 5306	. . . . . . 7 |- ((C x. C) + D) e. RR
24	6, 12, 23	ltletr 5561	. . . . . 6 |- ((((A x. A) + B) < (C x. C) /\ (C x. C) <_ ((C x. C) + D)) -> ((A x. A) + B) < ((C x. C) + D))
25	21, 24	mpan2 694	. . . . 5 |- (((A x. A) + B) < (C x. C) -> ((A x. A) + B) < ((C x. C) + D))
26	19, 25	syl 10	. . . 4 |- ((B <_ A /\ A < C) -> ((A x. A) + B) < ((C x. C) + D))
27	26	ex 373	. . 3 |- (B <_ A -> (A < C -> ((A x. A) + B) < ((C x. C) + D)))
28	27	adantr 389	. 2 |- ((B <_ A /\ D <_ C) -> (A < C -> ((A x. A) + B) < ((C x. C) + D)))
29	6, 23	ltneOLD 5557	. 2 |- (((A x. A) + B) < ((C x. C) + D) -> -. ((A x. A) + B) = ((C x. C) + D))
30	28, 29	syl6 22	1 |- ((B <_ A /\ D <_ C) -> (A < C -> -. ((A x. A) + B) = ((C x. C) + D)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948   + caddc 5209   x. cmul 5211   <_ cle 5267  NN0cn0 5269   < clt 5458  2c2 5908

This theorem is referenced by:  nn0opth 6596

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain