Theorem nn0ltp1let 6074

Description: Nonnegative integer ordering relation. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ltp1let	|- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))

Proof of Theorem nn0ltp1let

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnltp1let 5902	. . 3 |- ((M e. NN /\ N e. NN) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
2		breq1 2612	. . . . 5 |- (M = 0 -> (M < N <-> 0 < N))
3		nngt0t 5894	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> 0 < N)
4		nnge1t 5891	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> 1 <_ N)
5		ax1cn 5241	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
6	5	addid2 5303	. . . . . . . 8 |- (0 + 1) = 1
7	4, 6	syl5eqbr 2638	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (0 + 1) <_ N)
8	3, 7	2th 716	. . . . . 6 |- ((N e. NN -> 0 < N) <-> (N e. NN -> (0 + 1) <_ N))
9	8	pm5.74ri 585	. . . . 5 |- (N e. NN -> (0 < N <-> (0 + 1) <_ N))
10	2, 9	sylan9bb 538	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> (M < N <-> (0 + 1) <_ N))
11		opreq1 3953	. . . . . 6 |- (M = 0 -> (M + 1) = (0 + 1))
12	11	breq1d 2619	. . . . 5 |- (M = 0 -> ((M + 1) <_ N <-> (0 + 1) <_ N))
13	12	adantr 389	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> ((M + 1) <_ N <-> (0 + 1) <_ N))
14	10, 13	bitr4d 529	. . 3 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
15		breq2 2613	. . . . 5 |- (N = 0 -> (M < N <-> M < 0))
16		pm5.21 675	. . . . . 6 |- ((-. M < 0 /\ -. (M + 1) <_ 0) -> (M < 0 <-> (M + 1) <_ 0))
17		nngt0t 5894	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> 0 < M)
18		nnret 5877	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> M e. RR)
19		0re 5412	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
20		ltnsymt 5505	. . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ 0 e. RR) -> (M < 0 -> -. 0 < M))
21	19, 20	mpan2 694	. . . . . . . 8 |- (M e. RR -> (M < 0 -> -. 0 < M))
22	18, 21	syl 10	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> (M < 0 -> -. 0 < M))
23	17, 22	mt2d 111	. . . . . 6 |- (M e. NN -> -. M < 0)
24		axlttrn 5476	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ M e. RR /\ (M + 1) e. RR) -> ((0 < M /\ M < (M + 1)) -> 0 < (M + 1)))
25	19, 24	mp3an1 900	. . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ (M + 1) e. RR) -> ((0 < M /\ M < (M + 1)) -> 0 < (M + 1)))
26		peano2re 5408	. . . . . . . . . 10 |- (M e. RR -> (M + 1) e. RR)
27	18, 26	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> (M + 1) e. RR)
28	18, 27	jca 288	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> (M e. RR /\ (M + 1) e. RR))
29		ltp1t 5767	. . . . . . . . . 10 |- (M e. RR -> M < (M + 1))
30	18, 29	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> M < (M + 1))
31	17, 30	jca 288	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> (0 < M /\ M < (M + 1)))
32	25, 28, 31	sylc 68	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> 0 < (M + 1))
33		ltnlet 5483	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ (M + 1) e. RR) -> (0 < (M + 1) <-> -. (M + 1) <_ 0))
34	19, 33	mpan 693	. . . . . . . 8 |- ((M + 1) e. RR -> (0 < (M + 1) <-> -. (M + 1) <_ 0))
35	18, 26, 34	3syl 20	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> (0 < (M + 1) <-> -. (M + 1) <_ 0))
36	32, 35	mpbid 195	. . . . . 6 |- (M e. NN -> -. (M + 1) <_ 0)
37	16, 23, 36	sylanc 471	. . . . 5 |- (M e. NN -> (M < 0 <-> (M + 1) <_ 0))
38	15, 37	sylan9bbr 539	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ 0))
39		breq2 2613	. . . . 5 |- (N = 0 -> ((M + 1) <_ N <-> (M + 1) <_ 0))
40	39	adantl 388	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> ((M + 1) <_ N <-> (M + 1) <_ 0))
41	38, 40	bitr4d 529	. . 3 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
42		breq1 2612	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (M < 0 <-> 0 < 0))
43	19	ltnr 5583	. . . . . . . 8 |- -. 0 < 0
44	19	ltp1 5769	. . . . . . . . 9 |- 0 < (0 + 1)
45		1re 5407	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
46	19, 45	readdcl 5306	. . . . . . . . . 10 |- (0 + 1) e. RR
47	19, 46	ltnle 5552	. . . . . . . . 9 |- (0 < (0 + 1) <-> -. (0 + 1) <_ 0)
48	44, 47	mpbi 189	. . . . . . . 8 |- -. (0 + 1) <_ 0
49	43, 48	2false 717	. . . . . . 7 |- (0 < 0 <-> (0 + 1) <_ 0)
50	42, 49	syl6bb 534	. . . . . 6 |- (M = 0 -> (M < 0 <-> (0 + 1) <_ 0))
51	11	breq1d 2619	. . . . . 6 |- (M = 0 -> ((M + 1) <_ 0 <-> (0 + 1) <_ 0))
52	50, 51	bitr4d 529	. . . . 5 |- (M = 0 -> (M < 0 <-> (M + 1) <_ 0))
53	15, 52	sylan9bbr 539	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ 0))
54	39	adantl 388	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> ((M + 1) <_ N <-> (M + 1) <_ 0))
55	53, 54	bitr4d 529	. . 3 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
56	1, 14, 41, 55	ccase 753	. 2 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
57		elnn0 6048	. 2 |- (M e. NN0 <-> (M e. NN \/ M = 0))
58		elnn0 6048	. 2 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
59	56, 57, 58	syl2anb 455	1 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   <_ cle 5267  NNcn 5268  NN0cn0 5269   < clt 5458

This theorem is referenced by:  nn0leltp1t 6075  nn0ltlem1t 6076  zltp1let 6128  nn0opthlem1 6594  faclbnd 6882

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047

Copyright terms: Public domain