Theorem nn0ennn 7447

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	|- NN0 ~~ NN

Proof of Theorem nn0ennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 6060	. 2 |- NN0 e. V
2		nn0p1nnt 6130	. 2 |- (x e. NN0 -> (x + 1) e. NN)
3		nnm1nn0t 6131	. 2 |- (y e. NN -> (y - 1) e. NN0)
4		ax1cn 5249	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
5		subaddt 5355	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ 1 e. CC /\ x e. CC) -> ((y - 1) = x <-> (1 + x) = y))
6	4, 5	mp3an2 902	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> ((y - 1) = x <-> (1 + x) = y))
7		eqcom 1474	. . . . . 6 |- (x = (y - 1) <-> (y - 1) = x)
8		eqcom 1474	. . . . . 6 |- (y = (1 + x) <-> (1 + x) = y)
9	6, 7, 8	3bitr4g 554	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> (x = (y - 1) <-> y = (1 + x)))
10		axaddcom 5255	. . . . . . . 8 |- ((1 e. CC /\ x e. CC) -> (1 + x) = (x + 1))
11	4, 10	mpan 694	. . . . . . 7 |- (x e. CC -> (1 + x) = (x + 1))
12	11	eqeq2d 1483	. . . . . 6 |- (x e. CC -> (y = (1 + x) <-> y = (x + 1)))
13	12	adantl 388	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> (y = (1 + x) <-> y = (x + 1)))
14	9, 13	bitrd 527	. . . 4 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> (x = (y - 1) <-> y = (x + 1)))
15		nncnt 5886	. . . 4 |- (y e. NN -> y e. CC)
16		nn0cnt 6064	. . . 4 |- (x e. NN0 -> x e. CC)
17	14, 15, 16	syl2an 454	. . 3 |- ((y e. NN /\ x e. NN0) -> (x = (y - 1) <-> y = (x + 1)))
18	17	ancoms 436	. 2 |- ((x e. NN0 /\ y e. NN) -> (x = (y - 1) <-> y = (x + 1)))
19	1, 2, 3, 18	en3 4390	1 |- NN0 ~~ NN

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954   ~~ cen 4354  CCcc 5212  1c1 5215   + caddc 5217   - cmin 5272  NNcn 5276  NN0cn0 5277

This theorem is referenced by:  nnenom 7448  znnen 7453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091

Copyright terms: Public domain