Theorem nn0addclt 6067

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addclt	|- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M + N) e. NN0)

Proof of Theorem nn0addclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaddclt 5888	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N e. NN) -> (M + N) e. NN)
2		nnnn0t 6053	. . . 4 |- ((M + N) e. NN -> (M + N) e. NN0)
3	1, 2	syl 10	. . 3 |- ((M e. NN /\ N e. NN) -> (M + N) e. NN0)
4		opreq1 3953	. . . . . 6 |- (M = 0 -> (M + N) = (0 + N))
5		addid2t 5301	. . . . . 6 |- (N e. CC -> (0 + N) = N)
6	4, 5	sylan9eq 1519	. . . . 5 |- ((M = 0 /\ N e. CC) -> (M + N) = N)
7		nncnt 5878	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. CC)
8	6, 7	sylan2 451	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> (M + N) = N)
9		nnnn0t 6053	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. NN0)
10	9	adantl 388	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> N e. NN0)
11	8, 10	eqeltrd 1540	. . 3 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> (M + N) e. NN0)
12		opreq2 3954	. . . . . 6 |- (N = 0 -> (M + N) = (M + 0))
13		ax0id 5253	. . . . . 6 |- (M e. CC -> (M + 0) = M)
14	12, 13	sylan9eqr 1521	. . . . 5 |- ((M e. CC /\ N = 0) -> (M + N) = M)
15		nncnt 5878	. . . . 5 |- (M e. NN -> M e. CC)
16	14, 15	sylan 448	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> (M + N) = M)
17		nnnn0t 6053	. . . . 5 |- (M e. NN -> M e. NN0)
18	17	adantr 389	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> M e. NN0)
19	16, 18	eqeltrd 1540	. . 3 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> (M + N) e. NN0)
20		opreq12 3955	. . . . 5 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> (M + N) = (0 + 0))
21		0cn 5300	. . . . . 6 |- 0 e. CC
22	21	addid1 5302	. . . . 5 |- (0 + 0) = 0
23	20, 22	syl6eq 1515	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> (M + N) = 0)
24		0nn0 6060	. . . 4 |- 0 e. NN0
25	23, 24	syl6eqel 1548	. . 3 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> (M + N) e. NN0)
26	3, 11, 19, 25	ccase 753	. 2 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M + N) e. NN0)
27		elnn0 6048	. 2 |- (M e. NN0 <-> (M e. NN \/ M = 0))
28		elnn0 6048	. 2 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
29	26, 27, 28	syl2anb 455	1 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M + N) e. NN0)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   + caddc 5209  NNcn 5268  NN0cn0 5269

This theorem is referenced by:  nn0addcl 6068  peano2nn0 6071  zaddclt 6112  expaddt 6527  cvganz 6861  faclbnd4lem3 6887  faclbnd5 6890  faclbnd6 6891  facavgt 6892  bcxmas 7014  climaddlem3 7052  climmullem8 7063  efaddlem15 7294  ef1tllem 7323

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-n 5873  df-n0 6047

Copyright terms: Public domain