Theorem nmobndi 8383

Description: Two ways to express that an operator is bounded.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	|- X = (Base` U)
nmoubi.y	|- Y = (Base` W)
nmoubi.l	|- L = (norm` U)
nmoubi.m	|- M = (norm` W)
nmoubi.3	|- N = (UnormOpW)
nmoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmobndi	|- (T:X-->Y -> ((N` T) e. RR <-> E.r e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r)))

Distinct variable groups:   y,r,L   M,r,y   N,r,y   T,r,y   y,U   y,W   X,r,y   Y,r,y

Proof of Theorem nmobndi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2618	. . . . . . 7 |- (r = (N` T) -> ((M` (T` y)) <_ r <-> (M` (T` y)) <_ (N` T)))
2	1	imbi2d 611	. . . . . 6 |- (r = (N` T) -> (((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r) <-> ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ (N` T))))
3	2	ralbidv 1660	. . . . 5 |- (r = (N` T) -> (A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r) <-> A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ (N` T))))
4	3	rcla4ev 1873	. . . 4 |- (((N` T) e. RR /\ A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ (N` T))) -> E.r e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r))
5		nmoubi.w	. . . . . . 7 |- W e. NrmCVec
6		nmoubi.u	. . . . . . . 8 |- U e. NrmCVec
7		nmoubi.1	. . . . . . . . 9 |- X = (Base` U)
8		nmoubi.y	. . . . . . . . 9 |- Y = (Base` W)
9		nmoubi.l	. . . . . . . . 9 |- L = (norm` U)
10		nmoubi.m	. . . . . . . . 9 |- M = (norm` W)
11		nmoubi.3	. . . . . . . . 9 |- N = (UnormOpW)
12	7, 8, 9, 10, 11	nmolb 8379	. . . . . . . 8 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ (y e. X /\ (L` y) <_ 1)) -> (M` (T` y)) <_ (N` T))
13	6, 12	mp3anl1 908	. . . . . . 7 |- (((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ (y e. X /\ (L` y) <_ 1)) -> (M` (T` y)) <_ (N` T))
14	5, 13	mpanl1 705	. . . . . 6 |- ((T:X-->Y /\ (y e. X /\ (L` y) <_ 1)) -> (M` (T` y)) <_ (N` T))
15	14	exp32 377	. . . . 5 |- (T:X-->Y -> (y e. X -> ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ (N` T))))
16	15	r19.21aiv 1710	. . . 4 |- (T:X-->Y -> A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ (N` T)))
17	4, 16	sylan2 451	. . 3 |- (((N` T) e. RR /\ T:X-->Y) -> E.r e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r))
18	17	expcom 374	. 2 |- (T:X-->Y -> ((N` T) e. RR -> E.r e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r)))
19		xrret 5550	. . . . 5 |- ((((N` T) e. RR* /\ r e. RR) /\ ( -oo < (N` T) /\ (N` T) <_ r)) -> (N` T) e. RR)
20	7, 8, 11	nmoxr 8374	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (N` T) e. RR*)
21	6, 5, 20	mp3an12 904	. . . . . 6 |- (T:X-->Y -> (N` T) e. RR*)
22	21	3ad2ant1 799	. . . . 5 |- ((T:X-->Y /\ r e. RR /\ A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r)) -> (N` T) e. RR*)
23		3simp2 788	. . . . 5 |- ((T:X-->Y /\ r e. RR /\ A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r)) -> r e. RR)
24	7, 8, 11	nmogtmnf 8378	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> -oo < (N` T))
25	6, 5, 24	mp3an12 904	. . . . . 6 |- (T:X-->Y -> -oo < (N` T))
26	25	3ad2ant1 799	. . . . 5 |- ((T:X-->Y /\ r e. RR /\ A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r)) -> -oo < (N` T))
27	7, 8, 9, 10, 11, 6, 5	nmoubi 8380	. . . . . 6 |- ((T:X-->Y /\ r e. RR* /\ A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r)) -> (N` T) <_ r)
28		rexrt 5479	. . . . . 6 |- (r e. RR -> r e. RR*)
29	27, 28	syl3an2 859	. . . . 5 |- ((T:X-->Y /\ r e. RR /\ A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r)) -> (N` T) <_ r)
30	19, 22, 23, 26, 29	syl2anc 472	. . . 4 |- ((T:X-->Y /\ r e. RR /\ A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r)) -> (N` T) e. RR)
31	30	3expia 834	. . 3 |- ((T:X-->Y /\ r e. RR) -> (A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r) -> (N` T) e. RR))
32	31	r19.23adva 1744	. 2 |- (T:X-->Y -> (E.r e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r) -> (N` T) e. RR))
33	18, 32	impbid 515	1 |- (T:X-->Y -> ((N` T) e. RR <-> E.r e. RR A.y e. X ((L` y) <_ 1 -> (M` (T` y)) <_ r)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643   class class class wbr 2614  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  RRcr 5213  1c1 5215   <_ cle 5275   -oocmnf 5464  RR*cxr 5465   < clt 5466  NrmCVeccnv 8155  Basecba 8157  normcnm 8161  normOpcnmo 8349

This theorem is referenced by:  nmounbi 8384  nmobndseqi 8385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-nm 8171  df-nmo 8353

Copyright terms: Public domain