Theorem nmo0 8447

Description: The operator norm of the zero operator.

Hypotheses

Ref	Expression
nmo0.3	|- N = (UnormOpW)
nmo0.0	|- Z = (U 0op W)

Assertion

Ref	Expression
nmo0	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)

Proof of Theorem nmo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . . 5 |- (Base` U) = (Base` U)
2		eqid 1478	. . . . 5 |- (Base` W) = (Base` W)
3		nmo0.0	. . . . 5 |- Z = (U 0op W)
4	1, 2, 3	0oo 8445	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:(Base` U)-->(Base` W))
5		eqid 1478	. . . . 5 |- (norm` U) = (norm` U)
6		eqid 1478	. . . . 5 |- (norm` W) = (norm` W)
7		nmo0.3	. . . . 5 |- N = (UnormOpW)
8	1, 2, 5, 6, 7	nmoval 8422	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ Z:(Base` U)-->(Base` W)) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
9	4, 8	mpd3an3 919	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
10		fveq2 3730	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (0v` U) -> ((norm` U)` z) = ((norm` U)` (0v` U)))
11	10	breq1d 2634	. . . . . . . . . . 11 |- (z = (0v` U) -> (((norm` U)` z) <_ 1 <-> ((norm` U)` (0v` U)) <_ 1))
12	11	rcla4ev 1880	. . . . . . . . . 10 |- (((0v` U) e. (Base` U) /\ ((norm` U)` (0v` U)) <_ 1) -> E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1)
13		eqid 1478	. . . . . . . . . . 11 |- (0v` U) = (0v` U)
14	1, 13	nvzcl 8251	. . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. (Base` U))
15	13, 5	nvz0 8292	. . . . . . . . . . 11 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0v` U)) = 0)
16		0re 5452	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
17		1re 5447	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
18		lt01 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
19	16, 17, 18	ltlei 5593	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
20	15, 19	syl6eqbr 2657	. . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0v` U)) <_ 1)
21	12, 14, 20	sylanc 473	. . . . . . . . 9 |- (U e. NrmCVec -> E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1)
22	21	biantrurd 729	. . . . . . . 8 |- (U e. NrmCVec -> (x = 0 <-> (E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
23	22	adantr 391	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> (E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
24		eqid 1478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0v` W) = (0v` W)
25	1, 24, 3	0oval 8444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ z e. (Base` U)) -> (Z` z) = (0v` W))
26	25	3expa 835	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> (Z` z) = (0v` W))
27	26	fveq2d 3734	. . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = ((norm` W)` (0v` W)))
28	24, 6	nvz0 8292	. . . . . . . . . . . . 13 |- (W e. NrmCVec -> ((norm` W)` (0v` W)) = 0)
29	28	ad2antlr 407	. . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> ((norm` W)` (0v` W)) = 0)
30	27, 29	eqtrd 1510	. . . . . . . . . . 11 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = 0)
31	30	eqeq2d 1489	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> (x = ((norm` W)` (Z` z)) <-> x = 0))
32	31	anbi2d 618	. . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> ((((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
33	32	rexbidva 1663	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
34		r19.41v 1766	. . . . . . . 8 |- (E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> (E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0))
35	33, 34	syl6rbb 539	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> ((E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
36	23, 35	bitrd 530	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
37	36	abbidv 1580	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | x = 0} = {x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))})
38		df-sn 2416	. . . . 5 |- {0} = {x | x = 0}
39	37, 38	syl5req 1523	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))} = {0})
40		supeq1 4584	. . . 4 |- ({x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))} = {0} -> sup({x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
41	39, 40	syl 10	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> sup({x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
42	9, 41	eqtrd 1510	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({0}, RR*, < ))
43		rexrt 5511	. . . 4 |- (0 e. RR -> 0 e. RR*)
44	16, 43	ax-mp 7	. . 3 |- 0 e. RR*
45		xrltso 5566	. . . 4 |- < Or RR*
46	45	supsn 4600	. . 3 |- (0 e. RR* -> sup({0}, RR*, < ) = 0)
47	44, 46	ax-mp 7	. 2 |- sup({0}, RR*, < ) = 0
48	42, 47	syl6eq 1526	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  E.wrex 1649  {csn 2413   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   <_ cle 5307  RR*cxr 5497   < clt 5498  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  0vcn0v 8203  normcnm 8205  normOpcnmo 8398   0op c0o 8400

This theorem is referenced by:  0blo 8448  nmlno0lem 8449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-nmo 8402  df-0o 8404

Copyright terms: Public domain