Theorem nmlnoubi 8388

Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments.

Hypotheses

Ref	Expression
nmlnoubi.1	|- X = (Base` U)
nmlnoubi.z	|- Z = (0v` U)
nmlnoubi.k	|- K = (norm` U)
nmlnoubi.m	|- M = (norm` W)
nmlnoubi.3	|- N = (UnormOpW)
nmlnoubi.7	|- L = (U LnOp W)
nmlnoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmlnoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlnoubi	|- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (N` T) <_ A)

Distinct variable groups:   x,A   x,K   x,L   x,M   x,T   x,X   x,W

Proof of Theorem nmlnoubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmlnoubi.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		eqid 1468	. . . 4 |- (Base` W) = (Base` W)
3		nmlnoubi.k	. . . 4 |- K = (norm` U)
4		nmlnoubi.m	. . . 4 |- M = (norm` W)
5		nmlnoubi.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
6		nmlnoubi.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
7		nmlnoubi.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	nmoub2i 8369	. . 3 |- ((T:X-->(Base` W) /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (N` T) <_ A)
9		nmlnoubi.7	. . . . 5 |- L = (U LnOp W)
10	1, 2, 9	lnof 8350	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->(Base` W))
11	6, 7, 10	mp3an12 903	. . 3 |- (T e. L -> T:X-->(Base` W))
12	8, 11	syl3an1 857	. 2 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (N` T) <_ A)
13		fveq2 3709	. . . . . . . 8 |- (x = Z -> (T` x) = (T` Z))
14	13	fveq2d 3713	. . . . . . 7 |- (x = Z -> (M` (T` x)) = (M` (T` Z)))
15		fveq2 3709	. . . . . . . 8 |- (x = Z -> (K` x) = (K` Z))
16	15	opreq2d 3961	. . . . . . 7 |- (x = Z -> (A x. (K` x)) = (A x. (K` Z)))
17	14, 16	breq12d 2621	. . . . . 6 |- (x = Z -> ((M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)) <-> (M` (T` Z)) <_ (A x. (K` Z))))
18		id 59	. . . . . . . 8 |- ((x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))))
19	18	imp 350	. . . . . . 7 |- (((x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) /\ x =/= Z) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
20	19	adantll 392	. . . . . 6 |- ((((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) /\ x =/= Z) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
21		0re 5412	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
22	21	leid 5584	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
23	22	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> 0 <_ 0)
24		nmlnoubi.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = (0v` U)
25		eqid 1468	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0v` W) = (0v` W)
26	1, 2, 24, 25, 9	lno0 8351	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T` Z) = (0v` W))
27	6, 7, 26	mp3an12 903	. . . . . . . . . . 11 |- (T e. L -> (T` Z) = (0v` W))
28	27	fveq2d 3713	. . . . . . . . . 10 |- (T e. L -> (M` (T` Z)) = (M` (0v` W)))
29	25, 4	nvz0 8235	. . . . . . . . . . 11 |- (W e. NrmCVec -> (M` (0v` W)) = 0)
30	7, 29	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (M` (0v` W)) = 0
31	28, 30	syl6eq 1515	. . . . . . . . 9 |- (T e. L -> (M` (T` Z)) = 0)
32	31	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (M` (T` Z)) = 0)
33		recnt 5285	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> A e. CC)
34		mul01t 5415	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> (A x. 0) = 0)
35	33, 34	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> (A x. 0) = 0)
36	24, 3	nvz0 8235	. . . . . . . . . . . 12 |- (U e. NrmCVec -> (K` Z) = 0)
37	6, 36	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (K` Z) = 0
38	37	opreq2i 3957	. . . . . . . . . 10 |- (A x. (K` Z)) = (A x. 0)
39	35, 38	syl5eq 1511	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (A x. (K` Z)) = 0)
40	39	ad2antrl 406	. . . . . . . 8 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A x. (K` Z)) = 0)
41	23, 32, 40	3brtr4d 2635	. . . . . . 7 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (M` (T` Z)) <_ (A x. (K` Z)))
42	41	adantr 389	. . . . . 6 |- (((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (M` (T` Z)) <_ (A x. (K` Z)))
43	17, 20, 42	pm2.61ne 1625	. . . . 5 |- (((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
44	43	ex 373	. . . 4 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> ((x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))))
45	44	r19.20sdv 1702	. . 3 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))))
46	45	3impia 828	. 2 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
47	12, 46	syl3dan3 868	1 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (N` T) <_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637   class class class wbr 2609  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   x. cmul 5211   <_ cle 5267  NrmCVeccnv 8141  Basecba 8143  0vcn0v 8145  normcnm 8147   LnOp clno 8335  normOpcnmo 8336

This theorem is referenced by:  ubthlem13 8472

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-nm 8157  df-lno 8339  df-nmo 8340

Copyright terms: Public domain