Theorem nmfnvalt 9720

Description: Value of the norm of a Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
nmfnvalt	|- (T:H~-->CC -> (normfn` T) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))

Distinct variable group:   x,y,T

Proof of Theorem nmfnvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 5527	. . 3 |- < Or RR*
2	1	supex 4551	. 2 |- sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ) e. V
3		ax-hilex 8790	. 2 |- H~ e. V
4		axcnex 5239	. 2 |- CC e. V
5		fveq1 3708	. . . . . . . 8 |- (t = T -> (t` y) = (T` y))
6	5	fveq2d 3713	. . . . . . 7 |- (t = T -> (abs` (t` y)) = (abs` (T` y)))
7	6	eqeq2d 1478	. . . . . 6 |- (t = T -> (x = (abs` (t` y)) <-> x = (abs` (T` y))))
8	7	anbi2d 614	. . . . 5 |- (t = T -> (((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y))) <-> ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))))
9	8	rexbidv 1656	. . . 4 |- (t = T -> (E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y))) <-> E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))))
10	9	abbidv 1569	. . 3 |- (t = T -> {x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))} = {x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))})
11		supeq1 4549	. . 3 |- ({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))} = {x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))} -> sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))
12	10, 11	syl 10	. 2 |- (t = T -> sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))
13		df-nmfn 9688	. 2 |- normfn = {<.t, z>. | (t:H~-->CC /\ z = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ))}
14	2, 3, 4, 12, 13	fvopabf4 4324	1 |- (T:H~-->CC -> (normfn` T) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953  {cab 1456  E.wrex 1638   class class class wbr 2609  -->wf 3168  ` cfv 3172  supcsup 4547  CCcc 5204  1c1 5207   <_ cle 5267  RR*cxr 5457   < clt 5458  abscabs 6681  H~chil 8727  normhcno 8733  norm_fncnmf 8759

This theorem is referenced by:  nmfnxrt 9723  nmfnrepnf 9724  nmfnlbt 9764  nmfnleubt 9765  nmfn0 9827  nmcfnexlem1 9895  branmfnt 9951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-nmfn 9688

Copyright terms: Public domain