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Theorem nmfnleub2t 9789
Description: An upper bound for the norm of a functional.
Assertion
Ref Expression
nmfnleub2t |- ((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normfn` T) <_ A)
Distinct variable groups:   x,A   x,T
Proof of Theorem nmfnleub2t
StepHypRef Expression
1 1re 5415 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
2 lemul2itOLD 5804 . . . . . . . . . . 11 |- ((((normh` x) e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1)) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
31, 2mp3anl2 909 . . . . . . . . . 10 |- ((((normh` x) e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1)) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
4 normclt 8930 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. RR)
54anim1i 334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. H~ /\ A e. RR) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
65ancoms 436 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
76adantlr 393 . . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
87adantll 392 . . . . . . . . . . 11 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
98adantr 389 . . . . . . . . . 10 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
10 id 59 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
1110adantll 392 . . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
1211adantll 392 . . . . . . . . . . 11 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
1312adantlr 393 . . . . . . . . . 10 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
143, 9, 13sylanc 471 . . . . . . . . 9 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
15 recnt 5293 . . . . . . . . . . . 12 |- (A e. RR -> A e. CC)
16 ax1id 5262 . . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
1715, 16syl 10 . . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> (A x. 1) = A)
1817ad2antrl 406 . . . . . . . . . 10 |- ((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A x. 1) = A)
1918ad2antrr 404 . . . . . . . . 9 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. 1) = A)
2014, 19breqtrd 2634 . . . . . . . 8 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ A)
21 letrt 5506 . . . . . . . . . 10 |- (((abs` (T` x)) e. RR /\ (A x. (normh` x)) e. RR /\ A e. RR) -> (((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (abs` (T` x)) <_ A))
22 ffvelrn 3805 . . . . . . . . . . . 12 |- ((T:H~-->CC /\ x e. H~) -> (T` x) e. CC)
23 absclt 6776 . . . . . . . . . . . 12 |- ((T` x) e. CC -> (abs` (T` x)) e. RR)
2422, 23syl 10 . . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->CC /\ x e. H~) -> (abs` (T` x)) e. RR)
2524adantlr 393 . . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (abs` (T` x)) e. RR)
26 axmulrcl 5254 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ (normh` x) e. RR) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
2726, 4sylan2 451 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
2827adantlr 393 . . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
2928adantll 392 . . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
30 pm3.26 319 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR)
3130ad2antlr 405 . . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> A e. RR)
3221, 25, 29, 31syl3anc 857 . . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (abs` (T` x)) <_ A))
3332adantr 389 . . . . . . . 8 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (abs` (T` x)) <_ A))
3420, 33mpan2d 701 . . . . . . 7 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> (abs` (T` x)) <_ A))
3534ex 373 . . . . . 6 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((normh` x) <_ 1 -> ((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> (abs` (T` x)) <_ A)))
3635com23 32 . . . . 5 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)))
3736r19.20dva 1706 . . . 4 |- ((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A.x e. H~ (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)))
3837imp 350 . . 3 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A))
39 nmfnleubt 9788 . . . . 5 |- ((T:H~-->CC /\ A e. RR* /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)) -> (normfn` T) <_ A)
40 rexrt 5479 . . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. RR*)
4140adantr 389 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR*)
4239, 41syl3an2 859 . . . 4 |- ((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)) -> (normfn` T) <_ A)
43423expa 832 . . 3 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)) -> (normfn` T) <_ A)
4438, 43syldan 467 . 2 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normfn` T) <_ A)
45443impa 827 1 |- ((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normfn` T) <_ A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642   class class class wbr 2614  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   x. cmul 5219   <_ cle 5275  RR*cxr 5465  abscabs 6689  H~chil 8727  normhcno 8733  normfncnmf 8759
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hv0cl 8812  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his3 8890  ax-his4 8891
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr