Theorem nmcfnexlem2 9981

Description: Lemma for nmcfnex 9986. Apply definition of continuity. Note that we use 1 instead of 0.5 that Beran uses for epsilon (e = 0.5 in his proof).

Hypotheses

Ref	Expression
nmcfnex.1	|- T e. LinFn
nmcfnex.2	|- T e. ConFn

Assertion

Ref	Expression
nmcfnexlem2	|- E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))

Distinct variable group:   y,z,T

Proof of Theorem nmcfnexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcfnex.2	. . . 4 |- T e. ConFn
2		ax-hv0cl 8873	. . . 4 |- 0h e. H~
3	1, 2	pm3.2i 285	. . 3 |- (T e. ConFn /\ 0h e. H~)
4		1re 5435	. . . 4 |- 1 e. RR
5		lt01 5680	. . . 4 |- 0 < 1
6	4, 5	pm3.2i 285	. . 3 |- (1 e. RR /\ 0 < 1)
7		cnfnct 9854	. . 3 |- (((T e. ConFn /\ 0h e. H~) /\ (1 e. RR /\ 0 < 1)) -> E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` (z -h 0h)) < y -> (abs` ((T` z) - (T` 0h))) < 1)))
8	3, 6, 7	mp2an 697	. 2 |- E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` (z -h 0h)) < y -> (abs` ((T` z) - (T` 0h))) < 1))
9		hvsub0t 8943	. . . . . . . 8 |- (z e. H~ -> (z -h 0h) = z)
10	9	fveq2d 3728	. . . . . . 7 |- (z e. H~ -> (normh` (z -h 0h)) = (normh` z))
11	10	breq1d 2629	. . . . . 6 |- (z e. H~ -> ((normh` (z -h 0h)) < y <-> (normh` z) < y))
12		nmcfnex.1	. . . . . . . . . . . 12 |- T e. LinFn
13	12	lnfnf 9970	. . . . . . . . . . 11 |- T:H~-->CC
14	13	ffvelrni 3815	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H~ -> (T` z) e. CC)
15		subid1t 5396	. . . . . . . . . 10 |- ((T` z) e. CC -> ((T` z) - 0) = (T` z))
16	14, 15	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (z e. H~ -> ((T` z) - 0) = (T` z))
17	12	lnfn0 9971	. . . . . . . . . 10 |- (T` 0h) = 0
18	17	opreq2i 3972	. . . . . . . . 9 |- ((T` z) - (T` 0h)) = ((T` z) - 0)
19	16, 18	syl5eq 1519	. . . . . . . 8 |- (z e. H~ -> ((T` z) - (T` 0h)) = (T` z))
20	19	fveq2d 3728	. . . . . . 7 |- (z e. H~ -> (abs` ((T` z) - (T` 0h))) = (abs` (T` z)))
21	20	breq1d 2629	. . . . . 6 |- (z e. H~ -> ((abs` ((T` z) - (T` 0h))) < 1 <-> (abs` (T` z)) < 1))
22	11, 21	imbi12d 626	. . . . 5 |- (z e. H~ -> (((normh` (z -h 0h)) < y -> (abs` ((T` z) - (T` 0h))) < 1) <-> ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1)))
23	22	ralbiia 1673	. . . 4 |- (A.z e. H~ ((normh` (z -h 0h)) < y -> (abs` ((T` z) - (T` 0h))) < 1) <-> A.z e. H~ ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))
24	23	anbi2i 480	. . 3 |- ((0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` (z -h 0h)) < y -> (abs` ((T` z) - (T` 0h))) < 1)) <-> (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1)))
25	24	rexbii 1668	. 2 |- (E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` (z -h 0h)) < y -> (abs` ((T` z) - (T` 0h))) < 1)) <-> E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1)))
26	8, 25	mpbi 189	1 |- E.y e. RR (0 < y /\ A.z e. H~ ((normh` z) < y -> (abs` (T` z)) < 1))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   - cmin 5292   < clt 5486  abscabs 6750  H~chil 8788  0hc0v 8791   -h cmv 8792  normhcno 8794  ConFnccnf 8822  LinFnclf 8823

This theorem is referenced by:  nmcfnexlem6 9985

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvmul0 8880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-hvsub 8840  df-cnfn 9773  df-lnfn 9774

Copyright terms: Public domain