Theorem nlt1pi 5013

Description: No positive integer is less than one.

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	|- -. A <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 4984	. . . 4 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ A =/= (/)))
2	1	pm3.27bi 326	. . 3 |- (A e. N. -> A =/= (/))
3		noel 2280	. . . . . 6 |- -. A e. (/)
4		1pi 4991	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. N.
5		ltpiord 4995	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. N. /\ 1o e. N.) -> (A <N 1o <-> A e. 1o))
6	4, 5	mpan2 695	. . . . . . . . 9 |- (A e. N. -> (A <N 1o <-> A e. 1o))
7		elsucg 3031	. . . . . . . . . 10 |- (A e. N. -> (A e. suc (/) <-> (A e. (/) \/ A = (/))))
8		df-1o 4123	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
9	8	eleq2i 1535	. . . . . . . . . 10 |- (A e. 1o <-> A e. suc (/))
10	7, 9	syl5bb 531	. . . . . . . . 9 |- (A e. N. -> (A e. 1o <-> (A e. (/) \/ A = (/))))
11	6, 10	bitrd 527	. . . . . . . 8 |- (A e. N. -> (A <N 1o <-> (A e. (/) \/ A = (/))))
12	11	biimpa 416	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ A <N 1o) -> (A e. (/) \/ A = (/)))
13	12	ord 232	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ A <N 1o) -> (-. A e. (/) -> A = (/)))
14	3, 13	mpi 44	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ A <N 1o) -> A = (/))
15	14	ex 373	. . . 4 |- (A e. N. -> (A <N 1o -> A = (/)))
16	15	necon3ad 1599	. . 3 |- (A e. N. -> (A =/= (/) -> -. A <N 1o))
17	2, 16	mpd 26	. 2 |- (A e. N. -> -. A <N 1o)
18	4	elisseti 1814	. . . . 5 |- 1o e. V
19		ltrelpi 4997	. . . . 5 |- <N (_ (N. X. N.)
20	18, 19	brel 3218	. . . 4 |- (A <N 1o -> (A e. N. /\ 1o e. N.))
21	20	pm3.26d 321	. . 3 |- (A <N 1o -> A e. N.)
22	21	con3i 98	. 2 |- (-. A e. N. -> -. A <N 1o)
23	17, 22	pm2.61i 126	1 |- -. A <N 1o

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  suc csuc 2945  omcom 3126  1oc1o 4118  N.cnpi 4952   <N clti 4955

This theorem is referenced by:  indpi 5014  prlem934b 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-1o 4123  df-ni 4980  df-lti 4983

Copyright terms: Public domain