Theorem neival 7717

Description: The set of neighborhoods of a subset of the base set of a topology.

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
neival	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((nei` J)` S) = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))})

Distinct variable groups:   v,g,J   S,g,v   g,X,v

Proof of Theorem neival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifval.1	. . . . . 6 |- X = U.J
2	1	neifval 7714	. . . . 5 |- (J e. Top -> (nei` J) = {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})})
3	2	adantr 389	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (nei` J) = {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})})
4		visset 1813	. . . . . . 7 |- z e. V
5	4	elpw 2404	. . . . . 6 |- (z e. P~X <-> z (_ X)
6	5	anbi1i 481	. . . . 5 |- ((z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))}) <-> (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))}))
7	6	opabbii 2671	. . . 4 |- {<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})} = {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})}
8	3, 7	syl6eqr 1525	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (nei` J) = {<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})})
9	8	fveq1d 3726	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((nei` J)` S) = ({<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})}` S))
10		sseq1 2082	. . . . . . . 8 |- (z = S -> (z (_ g <-> S (_ g))
11	10	anbi1d 617	. . . . . . 7 |- (z = S -> ((z (_ g /\ g (_ v) <-> (S (_ g /\ g (_ v)))
12	11	rexbidv 1664	. . . . . 6 |- (z = S -> (E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v) <-> E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v)))
13	12	anbi2d 616	. . . . 5 |- (z = S -> ((v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v)) <-> (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))))
14	13	abbidv 1577	. . . 4 |- (z = S -> {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))} = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))})
15		eqid 1475	. . . 4 |- {<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})} = {<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})}
16	14, 15	fvopab4g 3779	. . 3 |- ((S e. P~X /\ {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))} e. V) -> ({<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})}` S) = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))})
17		elpw2g 2727	. . . . 5 |- (X e. V -> (S e. P~X <-> S (_ X))
18	17	biimpar 417	. . . 4 |- ((X e. V /\ S (_ X) -> S e. P~X)
19		uniexg 2871	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. V)
20	19, 1	syl5eqel 1552	. . . 4 |- (J e. Top -> X e. V)
21	18, 20	sylan 448	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> S e. P~X)
22		abssexg 2747	. . . . 5 |- (X e. V -> {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))} e. V)
23	20, 22	syl 10	. . . 4 |- (J e. Top -> {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))} e. V)
24	23	adantr 389	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))} e. V)
25	16, 21, 24	sylanc 471	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ({<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})}` S) = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))})
26	9, 25	eqtrd 1507	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((nei` J)` S) = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047  P~cpw 2401  U.cuni 2503  {copab 2666  ` cfv 3182  Topctop 7588  neicnei 7712

This theorem is referenced by:  isnei 7718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-nei 7713

Copyright terms: Public domain