Theorem negeu 5278

Description: Existential uniqueness of negatives. Theorem I.2 of [Apostol] p. 18.

Hypotheses

Ref	Expression
negeu.1	|- A e. CC
negeu.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
negeu	|- E!x e. CC (A + x) = B

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem negeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3908	. . . 4 |- (x = y -> (A + x) = (A + y))
2	1	eqeq1d 1459	. . 3 |- (x = y -> ((A + x) = B <-> (A + y) = B))
3	2	reu4 1905	. 2 |- (E!x e. CC (A + x) = B <-> (E.x e. CC (A + x) = B /\ A.x e. CC A.y e. CC (((A + x) = B /\ (A + y) = B) -> x = y)))
4		negeu.1	. . . 4 |- A e. CC
5	4	cnegex 5272	. . 3 |- E.y e. CC (A + y) = 0
6		negeu.2	. . . . . . 7 |- B e. CC
7		axaddcl 5194	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ B e. CC) -> (y + B) e. CC)
8	6, 7	mpan2 693	. . . . . 6 |- (y e. CC -> (y + B) e. CC)
9		risset 1661	. . . . . 6 |- ((y + B) e. CC <-> E.x e. CC x = (y + B))
10	8, 9	sylib 198	. . . . 5 |- (y e. CC -> E.x e. CC x = (y + B))
11		opreq2 3908	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (y + B) -> (A + x) = (A + (y + B)))
12		axaddass 5200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ y e. CC /\ B e. CC) -> ((A + y) + B) = (A + (y + B)))
13	4, 6, 12	mp3an13 903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. CC -> ((A + y) + B) = (A + (y + B)))
14	13	eqcomd 1456	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. CC -> (A + (y + B)) = ((A + y) + B))
15	11, 14	sylan9eqr 1505	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ x = (y + B)) -> (A + x) = ((A + y) + B))
16		opreq1 3907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A + y) = 0 -> ((A + y) + B) = (0 + B))
17	6	addid2 5254	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0 + B) = B
18	16, 17	syl6eq 1499	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A + y) = 0 -> ((A + y) + B) = B)
19	15, 18	sylan9eqr 1505	. . . . . . . . . . 11 |- (((A + y) = 0 /\ (y e. CC /\ x = (y + B))) -> (A + x) = B)
20	19	exp32 377	. . . . . . . . . 10 |- ((A + y) = 0 -> (y e. CC -> (x = (y + B) -> (A + x) = B)))
21	20	impcom 351	. . . . . . . . 9 |- ((y e. CC /\ (A + y) = 0) -> (x = (y + B) -> (A + x) = B))
22	21	a1d 12	. . . . . . . 8 |- ((y e. CC /\ (A + y) = 0) -> (x e. CC -> (x = (y + B) -> (A + x) = B)))
23	22	r19.21aiv 1689	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ (A + y) = 0) -> A.x e. CC (x = (y + B) -> (A + x) = B))
24	23	ex 373	. . . . . 6 |- (y e. CC -> ((A + y) = 0 -> A.x e. CC (x = (y + B) -> (A + x) = B)))
25		r19.22 1707	. . . . . 6 |- (A.x e. CC (x = (y + B) -> (A + x) = B) -> (E.x e. CC x = (y + B) -> E.x e. CC (A + x) = B))
26	24, 25	syl6 22	. . . . 5 |- (y e. CC -> ((A + y) = 0 -> (E.x e. CC x = (y + B) -> E.x e. CC (A + x) = B)))
27	10, 26	mpid 47	. . . 4 |- (y e. CC -> ((A + y) = 0 -> E.x e. CC (A + x) = B))
28	27	r19.23aiv 1719	. . 3 |- (E.y e. CC (A + y) = 0 -> E.x e. CC (A + x) = B)
29	5, 28	ax-mp 7	. 2 |- E.x e. CC (A + x) = B
30		addcant 5275	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC) -> ((A + x) = (A + y) <-> x = y))
31		eqtr3t 1470	. . . . 5 |- (((A + x) = B /\ (A + y) = B) -> (A + x) = (A + y))
32	30, 31	syl5bi 208	. . . 4 |- ((A e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC) -> (((A + x) = B /\ (A + y) = B) -> x = y))
33	4, 32	mp3an1 899	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (((A + x) = B /\ (A + y) = B) -> x = y))
34	33	rgen2a 1675	. 2 |- A.x e. CC A.y e. CC (((A + x) = B /\ (A + y) = B) -> x = y)
35	3, 29, 34	mpbir2an 727	1 |- E!x e. CC (A + x) = B

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 772   = wceq 1099   e. wcel 1105  A.wral 1621  E.wrex 1622  E!wreu 1623  (class class class)co 3902  CCcc 5155  0cc0 5157   + caddc 5160

This theorem is referenced by:  subcl 5289  subadd 5294

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169

Copyright terms: Public domain