Theorem negclt 5368

Description: Closure law for negative.

Assertion

Ref	Expression
negclt	|- (A e. CC -> -uA e. CC)

Proof of Theorem negclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 5328	. . 3 |- 0 e. CC
2		subclt 5367	. . 3 |- ((0 e. CC /\ A e. CC) -> (0 - A) e. CC)
3	1, 2	mpan 695	. 2 |- (A e. CC -> (0 - A) e. CC)
4		df-neg 5358	. 2 |- -uA = (0 - A)
5	3, 4	syl5eqel 1552	1 |- (A e. CC -> -uA e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 958  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   - cmin 5292  -ucneg 5293

This theorem is referenced by:  negcl 5369  addsubasst 5383  subnegt 5394  subcan2t 5402  negcon1t 5410  subcant 5412  mulneg2t 5452  negdi2t 5456  negsubdit 5457  negsubdi2t 5458  neg2subt 5459  subsub4t 5464  nnncan1t 5467  addsub4t 5473  mulsubt 5477  pnncant 5480  recextlem1 5682  divnegt 5774  divsubdirtOLD 5775  negeq0t 5806  zaddclt 6165  zltp1let 6181  zeot 6199  ceim1lt 6249  shftval4t 6349  shftcan2t 6353  shftcan1t 6354  seqzval2t 6553  sqnegt 6610  imret 6773  resubt 6806  imsubt 6809  cjsubt 6816  recjt 6818  absnegt 6832  clim2serzt 7134  clim2serz 7145  geolimilem 7235  negfcncf 7269  efcant 7368  efne0t 7369  efsubt 7371  reeff1o 7426  efi4pt 7435  sinnegt 7442  cosnegt 7443  efmivalt 7448  sinsubt 7455  cossubt 7456  sincossqt 7461  cnaddabl 8126  vcsubdir 8175  ipasslem2 8491  sin2pim 8692  cos2pim 8693  sinmpi 8694  cosmpi 8695  sinppi 8696  hvsubdistr2t 8917  spanunsn 9502  mslb1 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358

Copyright terms: Public domain