Theorem ndmoprrcl 4046

Description: Reverse closure law, when an operation's domain doesn't contain the empty set.

Hypotheses

Ref	Expression
ndmopr.1	|- B e. V
ndmopr.2	|- dom F = (S X. S)
ndmoprrcl.3	|- -. (/) e. S

Assertion

Ref	Expression
ndmoprrcl	|- ((AFB) e. S -> (A e. S /\ B e. S))

Proof of Theorem ndmoprrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmoprrcl.3	. . 3 |- -. (/) e. S
2		ndmopr.1	. . . . 5 |- B e. V
3		ndmopr.2	. . . . 5 |- dom F = (S X. S)
4	2, 3	ndmopr 4045	. . . 4 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (AFB) = (/))
5	4	eleq1d 1540	. . 3 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> ((AFB) e. S <-> (/) e. S))
6	1, 5	mtbiri 717	. 2 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> -. (AFB) e. S)
7	6	a3i 74	1 |- ((AFB) e. S -> (A e. S /\ B e. S))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (/)c0 2280   X. cxp 3168  dom cdm 3170  (class class class)co 3963

This theorem is referenced by:  ndmoprass 4048  ndmoprdistr 4049  ndmord 4050  ndmordi 4051  caoprmo 4070  brecop2 4307  eceqopreq 4313  mulcanpi 5027  recclpq 5072  ltexpq 5080  ltexpq2 5081  nsmallpq 5083  ltbtwnpq 5084  ltaddpr 5140  ltaddpr2 5141  ltexprlem2 5143  ltexprlem3 5144  ltexprlem4 5145  ltexprlem6 5147  ltexprlem7 5148  ltexpri 5149  addcanpr 5152  recexpr 5160  recexsrlem 5212  mappsrpr 5218  supsrlem1 5225

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain