Theorem nd1 4910

Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
nd1	|- (A.x x = y -> -. A.x y e. z)

Proof of Theorem nd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4570	. . 3 |- -. z e. z
2		stdpc4 1181	. . . 4 |- (A.y y e. z -> [z / y]y e. z)
3	1	pm2.21i 77	. . . . 5 |- (z e. z -> A.y z e. z)
4		elequ1 1132	. . . . 5 |- (y = z -> (y e. z <-> z e. z))
5	3, 4	sbie 1192	. . . 4 |- ([z / y]y e. z <-> z e. z)
6	2, 5	sylib 198	. . 3 |- (A.y y e. z -> z e. z)
7	1, 6	mto 106	. 2 |- -. A.y y e. z
8		ax-10o 1136	. 2 |- (A.x x = y -> (A.x y e. z -> A.y y e. z))
9	7, 8	mtoi 107	1 |- (A.x x = y -> -. A.x y e. z)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  [wsbc 1166

This theorem is referenced by:  axrepnd 4918  axinfndlem1 4929  axinfnd 4930  axacndlem1 4931  axacndlem2 4932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-reg 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403

Copyright terms: Public domain