Theorem mulresr 5237

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals.

Hypothesis

Ref	Expression
mulresr.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mulresr	|- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.(A .R B), 0R>.)

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 5169	. . . 4 |- 0R e. R.
2	1, 1	pm3.2i 285	. . 3 |- (0R e. R. /\ 0R e. R.)
3		mulcnsr 5234	. . . 4 |- (((A e. R. /\ 0R e. R.) /\ (B e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>.)
4	3	an4s 508	. . 3 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (0R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>.)
5	2, 4	mpan2 695	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>.)
6		mulclsr 5173	. . . . 5 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. R.)
7		0idsr 5186	. . . . 5 |- ((A .R B) e. R. -> ((A .R B) +R 0R) = (A .R B))
8	6, 7	syl 10	. . . 4 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((A .R B) +R 0R) = (A .R B))
9		00sr 5188	. . . . . . . 8 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
10	1, 9	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0R .R 0R) = 0R
11	10	opreq2i 3963	. . . . . 6 |- (-1R .R (0R .R 0R)) = (-1R .R 0R)
12		m1r 5171	. . . . . . 7 |- -1R e. R.
13		00sr 5188	. . . . . . 7 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 0R) = 0R)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (-1R .R 0R) = 0R
15	11, 14	eqtr 1492	. . . . 5 |- (-1R .R (0R .R 0R)) = 0R
16	15	opreq2i 3963	. . . 4 |- ((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))) = ((A .R B) +R 0R)
17	8, 16	syl5eq 1516	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))) = (A .R B))
18		00sr 5188	. . . . . 6 |- (B e. R. -> (B .R 0R) = 0R)
19	1	elisseti 1814	. . . . . . 7 |- 0R e. V
20		mulresr.1	. . . . . . 7 |- B e. V
21	19, 20	mulcomsr 5178	. . . . . 6 |- (0R .R B) = (B .R 0R)
22	18, 21	syl5eq 1516	. . . . 5 |- (B e. R. -> (0R .R B) = 0R)
23		00sr 5188	. . . . 5 |- (A e. R. -> (A .R 0R) = 0R)
24	22, 23	opreqan12rd 3971	. . . 4 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((0R .R B) +R (A .R 0R)) = (0R +R 0R))
25		0idsr 5186	. . . . 5 |- (0R e. R. -> (0R +R 0R) = 0R)
26	1, 25	ax-mp 7	. . . 4 |- (0R +R 0R) = 0R
27	24, 26	syl6eq 1520	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((0R .R B) +R (A .R 0R)) = 0R)
28	17, 27	opeq12d 2491	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>. = <.(A .R B), 0R>.)
29	5, 28	eqtrd 1504	1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.(A .R B), 0R>.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  <.cop 2407  (class class class)co 3954  R.cnr 4973  0Rc0r 4974  -1Rcm1r 4976   +R cplr 4977   .R cmr 4978   x. cmul 5219

This theorem is referenced by:  axmulrcl 5254  axrrecex 5264  pre-axmulgt0 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-m1r 5153  df-c 5220  df-mul 5226

Copyright terms: Public domain