Theorem mulpipq 5055

Description: Multiplication of positive fractions in terms of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
mulpipq	|- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q .Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.(A .N C), (B .N D)>.] ~Q )

Proof of Theorem mulpipq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 2782	. 2 |- <.(A .N C), (B .N D)>. e. V
2		opex 2782	. 2 |- <.(a .N g), (b .N h)>. e. V
3		opex 2782	. 2 |- <.(c .N t), (d .N s)>. e. V
4		enqex 5048	. 2 |- ~Q e. V
5		enqer 5046	. 2 |- Er ~Q
6		dmenq 5045	. 2 |- dom ~Q = (N. X. N.)
7		df-enq 5037	. 2 |- ~Q = {<.x, y>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))}
8		opreq12 3970	. . . 4 |- ((z = a /\ u = d) -> (z .N u) = (a .N d))
9		opreq12 3970	. . . 4 |- ((w = b /\ v = c) -> (w .N v) = (b .N c))
10	8, 9	eqeqan12d 1490	. . 3 |- (((z = a /\ u = d) /\ (w = b /\ v = c)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
11	10	an42s 509	. 2 |- (((z = a /\ w = b) /\ (v = c /\ u = d)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
12		opreq12 3970	. . . 4 |- ((z = g /\ u = s) -> (z .N u) = (g .N s))
13		opreq12 3970	. . . 4 |- ((w = h /\ v = t) -> (w .N v) = (h .N t))
14	12, 13	eqeqan12d 1490	. . 3 |- (((z = g /\ u = s) /\ (w = h /\ v = t)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
15	14	an42s 509	. 2 |- (((z = g /\ w = h) /\ (v = t /\ u = s)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
16		df-mpq 5036	. 2 |- .pQ = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w .N u), (v .N f)>.))}
17		opeq12 2489	. . . 4 |- (((w .N u) = (a .N g) /\ (v .N f) = (b .N h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
18		opreq12 3970	. . . 4 |- ((w = a /\ u = g) -> (w .N u) = (a .N g))
19		opreq12 3970	. . . 4 |- ((v = b /\ f = h) -> (v .N f) = (b .N h))
20	17, 18, 19	syl2an 454	. . 3 |- (((w = a /\ u = g) /\ (v = b /\ f = h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
21	20	an4s 508	. 2 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
22		opeq12 2489	. . . 4 |- (((w .N u) = (c .N t) /\ (v .N f) = (d .N s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
23		opreq12 3970	. . . 4 |- ((w = c /\ u = t) -> (w .N u) = (c .N t))
24		opreq12 3970	. . . 4 |- ((v = d /\ f = s) -> (v .N f) = (d .N s))
25	22, 23, 24	syl2an 454	. . 3 |- (((w = c /\ u = t) /\ (v = d /\ f = s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
26	25	an4s 508	. 2 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
27		opeq12 2489	. . . 4 |- (((w .N u) = (A .N C) /\ (v .N f) = (B .N D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
28		opreq12 3970	. . . 4 |- ((w = A /\ u = C) -> (w .N u) = (A .N C))
29		opreq12 3970	. . . 4 |- ((v = B /\ f = D) -> (v .N f) = (B .N D))
30	27, 28, 29	syl2an 454	. . 3 |- (((w = A /\ u = C) /\ (v = B /\ f = D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
31	30	an4s 508	. 2 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
32		df-mq 5040	. 2 |- .Q = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.aE.bE.cE.d((x = [<.a, b>.] ~Q /\ y = [<.c, d>.] ~Q ) /\ z = [(<.a, b>. .pQ <.c, d>.)] ~Q ))}
33		df-nq 5038	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
34		visset 1813	. . 3 |- a e. V
35		visset 1813	. . 3 |- b e. V
36		visset 1813	. . 3 |- c e. V
37		visset 1813	. . 3 |- d e. V
38		visset 1813	. . 3 |- g e. V
39		visset 1813	. . 3 |- h e. V
40		visset 1813	. . 3 |- t e. V
41		visset 1813	. . 3 |- s e. V
42	34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41	mulcmpblnq 5053	. 2 |- ((((a e. N. /\ b e. N.) /\ (c e. N. /\ d e. N.)) /\ ((g e. N. /\ h e. N.) /\ (t e. N. /\ s e. N.))) -> (((a .N d) = (b .N c) /\ (g .N s) = (h .N t)) -> <.(a .N g), (b .N h)>. ~Q <.(c .N t), (d .N s)>.))
43	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 15, 16, 21, 26, 31, 32, 33, 42	oprec 4318	1 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q .Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.(A .N C), (B .N D)>.] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  (class class class)co 3963  [cec 4259  N.cnpi 4972   .N cmi 4974   .pQ cmpq 4977   ~Q ceq 4978  Q.cnq 4979   .Q cmq 4982

This theorem is referenced by:  mulclpq 5060  mulcompq 5064  mulasspq 5065  distrpq 5067  mulidpq 5069  recmulpq 5070  ltmpq 5077  prlem934b 5138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-mi 5002  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-mq 5040

Copyright terms: Public domain