Theorem mulpiord 5013

Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication.

Assertion

Ref	Expression
mulpiord	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))

Proof of Theorem mulpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 3217	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> <.A, B>. e. (N. X. N.))
2		fvres 3734	. . 3 |- (<.A, B>. e. (N. X. N.) -> (( .o |` (N. X. N.))` <.A, B>.) = ( .o ` <.A, B>.))
3		df-opr 3965	. . . 4 |- (A .N B) = ( .N ` <.A, B>.)
4		df-mi 5002	. . . . 5 |- .N = ( .o |` (N. X. N.))
5	4	fveq1i 3725	. . . 4 |- ( .N ` <.A, B>.) = (( .o |` (N. X. N.))` <.A, B>.)
6	3, 5	eqtr 1495	. . 3 |- (A .N B) = (( .o |` (N. X. N.))` <.A, B>.)
7		df-opr 3965	. . 3 |- (A .o B) = ( .o ` <.A, B>.)
8	2, 6, 7	3eqtr4g 1531	. 2 |- (<.A, B>. e. (N. X. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
9	1, 8	syl 10	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   X. cxp 3168   |` cres 3172  ` cfv 3182  (class class class)co 3963   .o comu 4131  N.cnpi 4972   .N cmi 4974

This theorem is referenced by:  mulidpi 5014  mulclpi 5021  mulcompi 5024  mulasspi 5025  distrpi 5026  mulcanpi 5027  ltmpi 5031

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965  df-mi 5002

Copyright terms: Public domain