Theorem mulnzcnopr 5671

Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mulnzcnopr	|- ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))):((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))-->(CC \ {0})

Proof of Theorem mulnzcnopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnoprval 3999	. 2 |- (( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))):((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))-->(CC \ {0}) <-> (( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))) Fn ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})) /\ A.x e. (CC \ {0})A.y e. (CC \ {0})(x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) e. (CC \ {0})))
2		axmulopr 5238	. . . . 5 |- x. :(CC X. CC)-->CC
3		ffnoprval 3999	. . . . 5 |- ( x. :(CC X. CC)-->CC <-> ( x. Fn (CC X. CC) /\ A.x e. CC A.y e. CC (x x. y) e. CC))
4	2, 3	mpbi 189	. . . 4 |- ( x. Fn (CC X. CC) /\ A.x e. CC A.y e. CC (x x. y) e. CC)
5	4	pm3.26i 320	. . 3 |- x. Fn (CC X. CC)
6		difss 2157	. . . 4 |- (CC \ {0}) (_ CC
7		ssxp 3246	. . . 4 |- (((CC \ {0}) (_ CC /\ (CC \ {0}) (_ CC) -> ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})) (_ (CC X. CC))
8	6, 6, 7	mp2an 695	. . 3 |- ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})) (_ (CC X. CC)
9		fnssres 3586	. . 3 |- (( x. Fn (CC X. CC) /\ ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})) (_ (CC X. CC)) -> ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))) Fn ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))
10	5, 8, 9	mp2an 695	. 2 |- ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))) Fn ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))
11		oprvalres 4018	. . . 4 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) = (x x. y))
12		axmulcl 5245	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x x. y) e. CC)
13	12	ad2ant2r 409	. . . . . . 7 |- (((x e. CC /\ x =/= 0) /\ (y e. CC /\ y =/= 0)) -> (x x. y) e. CC)
14		muln0t 5667	. . . . . . 7 |- (((x e. CC /\ x =/= 0) /\ (y e. CC /\ y =/= 0)) -> (x x. y) =/= 0)
15	13, 14	jca 288	. . . . . 6 |- (((x e. CC /\ x =/= 0) /\ (y e. CC /\ y =/= 0)) -> ((x x. y) e. CC /\ (x x. y) =/= 0))
16		eldifsn 2453	. . . . . 6 |- (x e. (CC \ {0}) <-> (x e. CC /\ x =/= 0))
17		eldifsn 2453	. . . . . 6 |- (y e. (CC \ {0}) <-> (y e. CC /\ y =/= 0))
18	15, 16, 17	syl2anb 455	. . . . 5 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> ((x x. y) e. CC /\ (x x. y) =/= 0))
19		eldifsn 2453	. . . . 5 |- ((x x. y) e. (CC \ {0}) <-> ((x x. y) e. CC /\ (x x. y) =/= 0))
20	18, 19	sylibr 200	. . . 4 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (x x. y) e. (CC \ {0}))
21	11, 20	eqeltrd 1540	. . 3 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) e. (CC \ {0}))
22	21	rgen2a 1691	. 2 |- A.x e. (CC \ {0})A.y e. (CC \ {0})(x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) e. (CC \ {0})
23	1, 10, 22	mpbir2an 728	1 |- ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))):((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))-->(CC \ {0})

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637   \ cdif 2034   (_ wss 2037  {csn 2399   X. cxp 3158   |` cres 3162   Fn wfn 3167  -->wf 3168  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   x. cmul 5211

This theorem is referenced by:  ablmul 8068  mulid 8069

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463

Copyright terms: Public domain