Theorem mulcompq 5064

Description: Multiplication of positive fractions is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcompq.1	|- A e. V
mulcompq.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcompq	|- (A .Q B) = (B .Q A)

Proof of Theorem mulcompq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5038	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		mulpipq 5055	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.(x .N z), (y .N w)>.] ~Q )
3		mulpipq 5055	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (x e. N. /\ y e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.x, y>.] ~Q ) = [<.(z .N x), (w .N y)>.] ~Q )
4		visset 1813	. . . 4 |- x e. V
5		visset 1813	. . . 4 |- z e. V
6	4, 5	mulcompi 5024	. . 3 |- (x .N z) = (z .N x)
7		visset 1813	. . . 4 |- y e. V
8		visset 1813	. . . 4 |- w e. V
9	7, 8	mulcompi 5024	. . 3 |- (y .N w) = (w .N y)
10	1, 2, 3, 6, 9	ecoprcom 4319	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A .Q B) = (B .Q A))
11		mulcompq.2	. . 3 |- B e. V
12		dmmulpq 5061	. . 3 |- dom .Q = (Q. X. Q.)
13		mulcompq.1	. . 3 |- A e. V
14	11, 12, 13	ndmoprcom 4047	. 2 |- (-. (A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A .Q B) = (B .Q A))
15	10, 14	pm2.61i 126	1 |- (A .Q B) = (B .Q A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (class class class)co 3963  N.cnpi 4972   .N cmi 4974   ~Q ceq 4978  Q.cnq 4979   .Q cmq 4982

This theorem is referenced by:  recmulpq 5070  recrecpq 5073  ltrpq 5085  1pr 5117  addclprlem1 5118  addclprlem2 5119  mulclprlem 5121  mulclpr 5122  mulcompr 5125  distrlem4pr 5130  1idpr 5133  prlem934a 5137  prlem936a 5153  prlem936 5155  reclem3pr 5158  reclem4pr 5159

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-mi 5002  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-mq 5040

Copyright terms: Public domain