Theorem mulclpi 5001

Description: Closure of multiplication of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
mulclpi	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)

Proof of Theorem mulclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 4993	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
2		nnmcl 4220	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) e. om)
3		pinn 4986	. . . . 5 |- (A e. N. -> A e. om)
4		pinn 4986	. . . . 5 |- (B e. N. -> B e. om)
5	2, 3, 4	syl2an 454	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o B) e. om)
6		peano1 3144	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
7		nnmordi 4236	. . . . . . . . . 10 |- (((/) e. om /\ B e. om /\ A e. om) -> (((/) e. B /\ (/) e. A) -> (A .o (/)) e. (A .o B)))
8	6, 7	mp3an1 901	. . . . . . . . 9 |- ((B e. om /\ A e. om) -> (((/) e. B /\ (/) e. A) -> (A .o (/)) e. (A .o B)))
9	8	imp 350	. . . . . . . 8 |- (((B e. om /\ A e. om) /\ ((/) e. B /\ (/) e. A)) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
10	9	an4s 508	. . . . . . 7 |- (((B e. om /\ (/) e. B) /\ (A e. om /\ (/) e. A)) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
11		elni2 4985	. . . . . . 7 |- (B e. N. <-> (B e. om /\ (/) e. B))
12		elni2 4985	. . . . . . 7 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ (/) e. A))
13	10, 11, 12	syl2anb 455	. . . . . 6 |- ((B e. N. /\ A e. N.) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
14	13	ancoms 436	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
15		ne0i 2282	. . . . 5 |- ((A .o (/)) e. (A .o B) -> (A .o B) =/= (/))
16	14, 15	syl 10	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o B) =/= (/))
17	5, 16	jca 288	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .o B) e. om /\ (A .o B) =/= (/)))
18		elni 4984	. . 3 |- ((A .o B) e. N. <-> ((A .o B) e. om /\ (A .o B) =/= (/)))
19	17, 18	sylibr 200	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o B) e. N.)
20	1, 19	eqeltrd 1545	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 956   =/= wne 1582  (/)c0 2276  omcom 3126  (class class class)co 3954   .o comu 4121  N.cnpi 4952   .N cmi 4954

This theorem is referenced by:  mulasspi 5005  distrpi 5006  mulcanpi 5007  ltmpi 5011  enqer 5026  addcmpblnq 5032  mulcmpblnq 5033  ordpipq 5036  addclpq 5038  mulclpq 5040  addasspq 5043  mulasspq 5045  distrpqlem 5046  distrpq 5047  recmulpq 5050  ltsopq 5055  ltapq 5056  ltmpq 5057  ltexpq 5060  prlem934b 5118  prlem934 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-ni 4980  df-mi 4982

Copyright terms: Public domain