Theorem mulcl 5301

Description: Closure law for multiplication.

Hypotheses

Ref	Expression
axi.1	|- A e. CC
axi.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
mulcl	|- (A x. B) e. CC

Proof of Theorem mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axi.1	. 2 |- A e. CC
2		axi.2	. 2 |- B e. CC
3		axmulcl 5253	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)
4	1, 2, 3	mp2an 696	1 |- (A x. B) e. CC

Syntax hints:   e. wcel 956  (class class class)co 3954  CCcc 5212   x. cmul 5219

This theorem is referenced by:  0cn 5308  mul01 5411  mul2neg 5427  ixi 5662  divrec 5708  binom2 6583  binom2aOLD 6584  discrlem1 6594  nnesq 6600  nn0opth 6604  sqrlem11 6621  sqr2irrlem1 6662  irec 6669  crulem 6674  cru 6675  crne0 6678  crmul 6679  crrecz 6680  rimul 6683  cjcj 6721  cjreb 6724  recj 6725  imcj 6726  readd 6727  imadd 6728  cjadd 6731  cjmul 6732  cjmulrcl 6734  reneg 6737  imneg 6739  cjneg 6740  addcj 6741  imcjt 6762  rei 6767  imi 6768  abs00 6785  absmul 6790  absi 6823  abstri 6837  abs1m 6849  faclbnd4lem1 6893  bcpasc2 6913  fnsmnt 7169  geolimilem 7178  eirrlem2 7339  eirrlem3 7340  sinclt 7381  sinnegt 7392  efivalt 7397  sinadd 7401  cosadd 7402  ip0i 8428  ip1ilem 8429  ipasslem10 8443  siilem1 8455  minveclem36 8524  sinco 8605  sincn 8607  sinhalfpilem 8617  sinperlem2 8625  sinper 8628  cosper 8629  sin2pim 8630  cos2pim 8631  sincos4thpi 8646  sincos6thpi 8647  cosh111lem1 8648  efper 8686  eff1o 8687  pilog 8707  normlem0 8914  normlem1 8915  normlem2 8916  normlem3 8917  normlem5 8919  normlem7 8921  bcseq 8925  norm-ii 8943  normpar2 8962  polid2 8963  projlem3 9127  projlem4 9128  pjthlem5 9161  pjthlem7 9163  h1de2 9414  lnopunilem1 9873  lnophmlem2 9880

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-m1r 5153  df-c 5220  df-mul 5226

Copyright terms: Public domain