Theorem mulcant2 5611

Description: Cancellation law for multiplication (theorem form). Theorem I.7 of [Apostol] p. 18. Illustrates use of keephyp 2367.

Hypothesis

Ref	Expression
mulcant2.1	|- A =/= 0

Assertion

Ref	Expression
mulcant2	|- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> ((A x. B) = (A x. C) <-> B = C))

Proof of Theorem mulcant2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3907	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 1) -> (A x. B) = (if(A e. CC, A, 1) x. B))
2		opreq1 3907	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 1) -> (A x. C) = (if(A e. CC, A, 1) x. C))
3	1, 2	eqeq12d 1465	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 1) -> ((A x. B) = (A x. C) <-> (if(A e. CC, A, 1) x. B) = (if(A e. CC, A, 1) x. C)))
4	3	bibi1d 617	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 1) -> (((A x. B) = (A x. C) <-> B = C) <-> ((if(A e. CC, A, 1) x. B) = (if(A e. CC, A, 1) x. C) <-> B = C)))
5		opreq2 3908	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 1) -> (if(A e. CC, A, 1) x. B) = (if(A e. CC, A, 1) x. if(B e. CC, B, 1)))
6	5	eqeq1d 1459	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 1) -> ((if(A e. CC, A, 1) x. B) = (if(A e. CC, A, 1) x. C) <-> (if(A e. CC, A, 1) x. if(B e. CC, B, 1)) = (if(A e. CC, A, 1) x. C)))
7		eqeq1 1457	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 1) -> (B = C <-> if(B e. CC, B, 1) = C))
8	6, 7	bibi12d 627	. 2 |- (B = if(B e. CC, B, 1) -> (((if(A e. CC, A, 1) x. B) = (if(A e. CC, A, 1) x. C) <-> B = C) <-> ((if(A e. CC, A, 1) x. if(B e. CC, B, 1)) = (if(A e. CC, A, 1) x. C) <-> if(B e. CC, B, 1) = C)))
9		opreq2 3908	. . . 4 |- (C = if(C e. CC, C, 1) -> (if(A e. CC, A, 1) x. C) = (if(A e. CC, A, 1) x. if(C e. CC, C, 1)))
10	9	eqeq2d 1462	. . 3 |- (C = if(C e. CC, C, 1) -> ((if(A e. CC, A, 1) x. if(B e. CC, B, 1)) = (if(A e. CC, A, 1) x. C) <-> (if(A e. CC, A, 1) x. if(B e. CC, B, 1)) = (if(A e. CC, A, 1) x. if(C e. CC, C, 1))))
11		eqeq2 1460	. . 3 |- (C = if(C e. CC, C, 1) -> (if(B e. CC, B, 1) = C <-> if(B e. CC, B, 1) = if(C e. CC, C, 1)))
12	10, 11	bibi12d 627	. 2 |- (C = if(C e. CC, C, 1) -> (((if(A e. CC, A, 1) x. if(B e. CC, B, 1)) = (if(A e. CC, A, 1) x. C) <-> if(B e. CC, B, 1) = C) <-> ((if(A e. CC, A, 1) x. if(B e. CC, B, 1)) = (if(A e. CC, A, 1) x. if(C e. CC, C, 1)) <-> if(B e. CC, B, 1) = if(C e. CC, C, 1))))
13		ax1cn 5192	. . . 4 |- 1 e. CC
14	13	elimel 2365	. . 3 |- if(A e. CC, A, 1) e. CC
15	13	elimel 2365	. . 3 |- if(B e. CC, B, 1) e. CC
16	13	elimel 2365	. . 3 |- if(C e. CC, C, 1) e. CC
17		neeq1 1566	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 1) -> (A =/= 0 <-> if(A e. CC, A, 1) =/= 0))
18		neeq1 1566	. . . 4 |- (1 = if(A e. CC, A, 1) -> (1 =/= 0 <-> if(A e. CC, A, 1) =/= 0))
19		mulcant2.1	. . . 4 |- A =/= 0
20		ax1ne0 5203	. . . 4 |- 1 =/= 0
21	17, 18, 19, 20	keephyp 2367	. . 3 |- if(A e. CC, A, 1) =/= 0
22	14, 15, 16, 21	mulcan 5610	. 2 |- ((if(A e. CC, A, 1) x. if(B e. CC, B, 1)) = (if(A e. CC, A, 1) x. if(C e. CC, C, 1)) <-> if(B e. CC, B, 1) = if(C e. CC, C, 1))
23	4, 8, 12, 22	dedth3h 2359	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> ((A x. B) = (A x. C) <-> B = C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 772   = wceq 1099   e. wcel 1105   =/= wne 1561  ifcif 2332  (class class class)co 3902  CCcc 5155  0cc0 5157  1c1 5158   x. cmul 5162

This theorem is referenced by:  mulcant 5612  receu 5621  znnen 7396  2wsms 8824

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414

Copyright terms: Public domain