Theorem mulcanpi 5027

Description: Multiplication cancellation law for positive integers.

Hypothesis

Ref	Expression
mulcanpi.1	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcanpi	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))

Proof of Theorem mulcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 5013	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
2	1	adantr 389	. . . . . . . 8 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
3		mulpiord 5013	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> (A .N C) = (A .o C))
4	3	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A .N C) = (A .o C))
5	2, 4	eqeq12d 1489	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) <-> (A .o B) = (A .o C)))
6		nnmcan 4248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))
7	6	biimpd 153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
8		elni2 5005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ (/) e. A))
9	8	pm3.27bi 326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. N. -> (/) e. A)
10	7, 9	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ A e. N.) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
11	10	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))
12		pinn 5006	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. N. -> A e. om)
13		pinn 5006	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. N. -> B e. om)
14		pinn 5006	. . . . . . . . . . . 12 |- (C e. N. -> C e. om)
15	11, 12, 13, 14	syl3an 868	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))
16	15	3exp 832	. . . . . . . . . 10 |- (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))))
17	16	com4r 41	. . . . . . . . 9 |- (A e. N. -> (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))))
18	17	pm2.43i 64	. . . . . . . 8 |- (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))))
19	18	imp31 362	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
20	5, 19	sylbid 203	. . . . . 6 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))
21		eleq1 1534	. . . . . . . . 9 |- ((A .N B) = (A .N C) -> ((A .N B) e. N. <-> (A .N C) e. N.))
22		mulclpi 5021	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)
23	21, 22	syl5bi 208	. . . . . . . 8 |- ((A .N B) = (A .N C) -> ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N C) e. N.))
24	23	imp 350	. . . . . . 7 |- (((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> (A .N C) e. N.)
25		mulcanpi.1	. . . . . . . 8 |- C e. V
26		dmmulpi 5019	. . . . . . . 8 |- dom .N = (N. X. N.)
27		0npi 5010	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. N.
28	25, 26, 27	ndmoprrcl 4046	. . . . . . 7 |- ((A .N C) e. N. -> (A e. N. /\ C e. N.))
29		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> C e. N.)
30	24, 28, 29	3syl 20	. . . . . 6 |- (((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> C e. N.)
31	20, 30	sylan2 451	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ ((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.))) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))
32	31	exp32 377	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))))
33	32	imp4b 365	. . 3 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> B = C))
34	33	pm2.43i 64	. 2 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> B = C)
35	34	ex 373	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (/)c0 2280  omcom 3131  (class class class)co 3963   .o comu 4131  N.cnpi 4972   .N cmi 4974

This theorem is referenced by:  enqer 5046

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-ni 5000  df-mi 5002

Copyright terms: Public domain