Theorem mulasspq 5065

Description: Multiplication of positive fractions is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulasspq.1	|- B e. V
mulasspq.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mulasspq	|- ((A .Q B) .Q C) = (A .Q (B .Q C))

Proof of Theorem mulasspq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5038	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		mulpipq 5055	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.(x .N z), (y .N w)>.] ~Q )
3		mulpipq 5055	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.(z .N v), (w .N u)>.] ~Q )
4		mulpipq 5055	. . 3 |- ((((x .N z) e. N. /\ (y .N w) e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.(x .N z), (y .N w)>.] ~Q .Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.((x .N z) .N v), ((y .N w) .N u)>.] ~Q )
5		mulpipq 5055	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ ((z .N v) e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.(z .N v), (w .N u)>.] ~Q ) = [<.(x .N (z .N v)), (y .N (w .N u))>.] ~Q )
6		mulclpi 5021	. . . . 5 |- ((x e. N. /\ z e. N.) -> (x .N z) e. N.)
7		mulclpi 5021	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ w e. N.) -> (y .N w) e. N.)
8	6, 7	anim12i 333	. . . 4 |- (((x e. N. /\ z e. N.) /\ (y e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N z) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
9	8	an4s 508	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N z) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
10		mulclpi 5021	. . . . 5 |- ((z e. N. /\ v e. N.) -> (z .N v) e. N.)
11		mulclpi 5021	. . . . 5 |- ((w e. N. /\ u e. N.) -> (w .N u) e. N.)
12	10, 11	anim12i 333	. . . 4 |- (((z e. N. /\ v e. N.) /\ (w e. N. /\ u e. N.)) -> ((z .N v) e. N. /\ (w .N u) e. N.))
13	12	an4s 508	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ((z .N v) e. N. /\ (w .N u) e. N.))
14		visset 1813	. . . 4 |- z e. V
15		visset 1813	. . . 4 |- v e. V
16	14, 15	mulasspi 5025	. . 3 |- ((x .N z) .N v) = (x .N (z .N v))
17		visset 1813	. . . 4 |- w e. V
18		visset 1813	. . . 4 |- u e. V
19	17, 18	mulasspi 5025	. . 3 |- ((y .N w) .N u) = (y .N (w .N u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 4320	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A .Q B) .Q C) = (A .Q (B .Q C)))
21		mulasspq.1	. . 3 |- B e. V
22		dmmulpq 5061	. . 3 |- dom .Q = (Q. X. Q.)
23		mulasspq.2	. . 3 |- C e. V
24		0npq 5050	. . 3 |- -. (/) e. Q.
25	21, 22, 23, 24	ndmoprass 4048	. 2 |- (-. (A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A .Q B) .Q C) = (A .Q (B .Q C)))
26	20, 25	pm2.61i 126	1 |- ((A .Q B) .Q C) = (A .Q (B .Q C))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (class class class)co 3963  N.cnpi 4972   .N cmi 4974   ~Q ceq 4978  Q.cnq 4979   .Q cmq 4982

This theorem is referenced by:  recmulpq 5070  addclprlem2 5119  mulclprlem 5121  mulasspr 5126  1idpr 5133  prlem936a 5153  prlem936 5155  reclem3pr 5158

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-mi 5002  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-mq 5040

Copyright terms: Public domain