Theorem msflem 7803

Description: Lemma for msf 7804 and others.

Hypotheses

Ref	Expression
msf.1	|- X = (1st` M)
msf.2	|- D = (2nd` M)

Assertion

Ref	Expression
msflem	|- (M e. MetSp -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))

Distinct variable groups:   x,y,z,D   x,X,y,z

Proof of Theorem msflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfms2 7799	. . 3 |- MetSp = {<.w, v>. | (v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))}
2	1	eleq2i 1538	. 2 |- (M e. MetSp <-> M e. {<.w, v>. | (v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))})
3		msf.1	. . . . 5 |- X = (1st` M)
4	3	eqeq2i 1485	. . . 4 |- (w = X <-> w = (1st` M))
5		xpeq1 3200	. . . . . . 7 |- (w = X -> (w X. w) = (X X. w))
6		xpeq2 3201	. . . . . . 7 |- (w = X -> (X X. w) = (X X. X))
7	5, 6	eqtrd 1507	. . . . . 6 |- (w = X -> (w X. w) = (X X. X))
8		feq2 3621	. . . . . 6 |- ((w X. w) = (X X. X) -> (v:(w X. w)-->RR <-> v:(X X. X)-->RR))
9	7, 8	syl 10	. . . . 5 |- (w = X -> (v:(w X. w)-->RR <-> v:(X X. X)-->RR))
10		raleq1 1786	. . . . . . . 8 |- (w = X -> (A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)) <-> A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))
11	10	anbi2d 616	. . . . . . 7 |- (w = X -> ((((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))))
12	11	raleqd 1791	. . . . . 6 |- (w = X -> (A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))))
13	12	raleqd 1791	. . . . 5 |- (w = X -> (A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))))
14	9, 13	anbi12d 628	. . . 4 |- (w = X -> ((v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))) <-> (v:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))))
15	4, 14	sylbir 201	. . 3 |- (w = (1st` M) -> ((v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))) <-> (v:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))))
16		msf.2	. . . . 5 |- D = (2nd` M)
17	16	eqeq2i 1485	. . . 4 |- (v = D <-> v = (2nd` M))
18		feq1 3620	. . . . 5 |- (v = D -> (v:(X X. X)-->RR <-> D:(X X. X)-->RR))
19		opreq 3967	. . . . . . . . 9 |- (v = D -> (xvy) = (xDy))
20	19	eqeq1d 1483	. . . . . . . 8 |- (v = D -> ((xvy) = 0 <-> (xDy) = 0))
21	20	bibi1d 619	. . . . . . 7 |- (v = D -> (((xvy) = 0 <-> x = y) <-> ((xDy) = 0 <-> x = y)))
22		opreq 3967	. . . . . . . . . 10 |- (v = D -> (zvx) = (zDx))
23		opreq 3967	. . . . . . . . . 10 |- (v = D -> (zvy) = (zDy))
24	22, 23	opreq12d 3978	. . . . . . . . 9 |- (v = D -> ((zvx) + (zvy)) = ((zDx) + (zDy)))
25	19, 24	breq12d 2631	. . . . . . . 8 |- (v = D -> ((xvy) <_ ((zvx) + (zvy)) <-> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
26	25	ralbidv 1663	. . . . . . 7 |- (v = D -> (A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)) <-> A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
27	21, 26	anbi12d 628	. . . . . 6 |- (v = D -> ((((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
28	27	2ralbidv 1680	. . . . 5 |- (v = D -> (A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
29	18, 28	anbi12d 628	. . . 4 |- (v = D -> ((v:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))) <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))
30	17, 29	sylbir 201	. . 3 |- (v = (2nd` M) -> ((v:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))) <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))
31	15, 30	elopabi 4117	. 2 |- (M e. {<.w, v>. | (v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))} -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
32	2, 31	sylbi 199	1 |- (M e. MetSp -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   class class class wbr 2619  {copab 2666   X. cxp 3168  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  1stc1st 4077  2ndc2nd 4078  RRcr 5233  0cc0 5234   + caddc 5237   <_ cle 5295  MetSpcmt 7790

This theorem is referenced by:  msf 7804

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-met 7793  df-ms 7794

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