Theorem mnfxr 5494

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals.

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 5488	. . . . . 6 |- -oo = P~ +oo
2		df-pnf 5487	. . . . . . . 8 |- +oo = P~U.CC
3		axcnex 5267	. . . . . . . . . 10 |- CC e. V
4	3	uniex 2870	. . . . . . . . 9 |- U.CC e. V
5	4	pwex 2745	. . . . . . . 8 |- P~U.CC e. V
6	2, 5	eqeltr 1544	. . . . . . 7 |- +oo e. V
7	6	pwex 2745	. . . . . 6 |- P~ +oo e. V
8	1, 7	eqeltr 1544	. . . . 5 |- -oo e. V
9	8	pri2 2451	. . . 4 |- -oo e. { +oo, -oo}
10	9	olci 271	. . 3 |- ( -oo e. RR \/ -oo e. { +oo, -oo})
11		elun 2173	. . 3 |- ( -oo e. (RR u. { +oo, -oo}) <-> ( -oo e. RR \/ -oo e. { +oo, -oo}))
12	10, 11	mpbir 190	. 2 |- -oo e. (RR u. { +oo, -oo})
13		df-xr 5489	. 2 |- RR* = (RR u. { +oo, -oo})
14	12, 13	eleqtrr 1547	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   \/ wo 222   e. wcel 958  Vcvv 1811   u. cun 2045  P~cpw 2401  {cpr 2410  U.cuni 2503  CCcc 5232  RRcr 5233   +oocpnf 5483   -oocmnf 5484  RR*cxr 5485

This theorem is referenced by:  elxr 5535  ssxr 5540  xrltnrt 5541  mnfltt 5543  mnfltpnf 5544  nltmnft 5547  mnflet 5549  xrltnsymt 5550  ngtmnftt 5567  xrre2t 5570  xrsupsslem 6076  xrinfmsslem 6077  xrsupss 6078  xrub 6080  supxrmnf 6087  xrsup0 6097  qbtwnxr 6279  elioc2t 6390  elico2t 6391  elicc2t 6392  ioomax 6393  unirnioo 6402  tgioolem 7914  cdrci 10494

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-qs 4266  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086  df-nr 5167  df-c 5240  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489

Copyright terms: Public domain