HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem minveclem4 8548
Description: Lemma for minvecex 8578.
Hypotheses
Ref Expression
minvec1.u |- U e. CPreHil
minvec1.w1 |- W e. (SubSp` U)
minvec2.y |- Y = (Base` W)
minvec3.x |- X = (Base` U)
Assertion
Ref Expression
minveclem4 |- ((f:NN-->Y /\ n e. NN) -> (f` n) e. X)
Proof of Theorem minveclem4
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 3814 . 2 |- ((f:NN-->Y /\ n e. NN) -> (f` n) e. Y)
2 minvec1.u . . . 4 |- U e. CPreHil
3 minvec1.w1 . . . 4 |- W e. (SubSp` U)
4 minvec2.y . . . 4 |- Y = (Base` W)
5 minvec3.x . . . 4 |- X = (Base` U)
62, 3, 4, 5minveclem3 8547 . . 3 |- Y (_ X
76sseli 2065 . 2 |- ((f` n) e. Y -> (f` n) e. X)
81, 7syl 10 1 |- ((f:NN-->Y /\ n e. NN) -> (f` n) e. X)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  -->wf 3178  ` cfv 3182  NNcn 5296  Basecba 8205  SubSpcss 8380  CPreHilcphl 8471
This theorem is referenced by:  minveclem9 8553  minveclem18 8562  minveclem19 8563  minveclem20 8564  minveclem22 8566  minveclem27 8571  minveclem30 8574  minveclem31 8575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-nm 8219  df-ssp 8381  df-ph 8472
Copyright terms: Public domain