Theorem minveclem32 8572

Description: Lemma for minvecex 8574.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec10.1	|- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
minvec10.u	|- U e. CPreHil
minvec10.m	|- M = (-v` U)
minvec10.n	|- N = (norm` U)
minvec10.x	|- X = (Base` U)
minvec10.w1	|- W e. (SubSp` U)
minvec10.y	|- Y = (Base` W)
minvec10.a	|- A e. X
minvec30.2	|- P = -usup(R, RR, < )
minvec30.hf	|- (j e. NN -> (F` j) = (N` (AM(f` j))))
minvec30.d	|- D = (IndMet` W)
minvec30.jv	|- J e. V
minvec30.j	|- (m e. NN -> (J` m) = (N` ((f` m)Ma)))
minvec30.fv	|- F e. V
minvec30.tv	|- T e. V
minvec30.t	|- (m e. NN -> (T` m) = ((F` m) + (N` ((f` m)Ma))))

Assertion

Ref	Expression
minveclem32	|- (((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ (F ~~> P /\ a e. Y)) -> (N` (AMa)) = P)

Distinct variable groups:   f,j,m,x,y,A   m,a,D   j,a,F,m   f,M,j,m,x,y   f,N,j,m,x,y   f,a,P,j,m   R,a   x,U,y   x,W,y   x,a,y,Y,f,j,m   m,J   T,m

Proof of Theorem minveclem32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec10.1	. . . 4 |- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
2		minvec10.u	. . . 4 |- U e. CPreHil
3		minvec10.m	. . . 4 |- M = (-v` U)
4		minvec10.n	. . . 4 |- N = (norm` U)
5		minvec10.x	. . . 4 |- X = (Base` U)
6		minvec10.w1	. . . 4 |- W e. (SubSp` U)
7		minvec10.y	. . . 4 |- Y = (Base` W)
8		minvec10.a	. . . 4 |- A e. X
9		minvec30.2	. . . 4 |- P = -usup(R, RR, < )
10		minvec30.hf	. . . 4 |- (j e. NN -> (F` j) = (N` (AM(f` j))))
11		minvec30.d	. . . 4 |- D = (IndMet` W)
12		minvec30.jv	. . . 4 |- J e. V
13		minvec30.j	. . . 4 |- (m e. NN -> (J` m) = (N` ((f` m)Ma)))
14		minvec30.fv	. . . 4 |- F e. V
15		minvec30.tv	. . . 4 |- T e. V
16		minvec30.t	. . . 4 |- (m e. NN -> (T` m) = ((F` m) + (N` ((f` m)Ma))))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	minveclem31 8571	. . 3 |- (((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ (F ~~> P /\ a e. Y)) -> (N` (AMa)) <_ P)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	minveclem13 8553	. . . 4 |- (a e. Y -> P <_ (N` (AMa)))
19	18	ad2antll 409	. . 3 |- (((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ (F ~~> P /\ a e. Y)) -> P <_ (N` (AMa)))
20	17, 19	jca 288	. 2 |- (((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ (F ~~> P /\ a e. Y)) -> ((N` (AMa)) <_ P /\ P <_ (N` (AMa))))
21	2, 6, 7, 5, 3, 4, 8	minveclem5 8545	. . . 4 |- (a e. Y -> (N` (AMa)) e. RR)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	minveclem12 8552	. . . . 5 |- P e. RR
23		letri3t 5529	. . . . 5 |- (((N` (AMa)) e. RR /\ P e. RR) -> ((N` (AMa)) = P <-> ((N` (AMa)) <_ P /\ P <_ (N` (AMa)))))
24	22, 23	mpan2 698	. . . 4 |- ((N` (AMa)) e. RR -> ((N` (AMa)) = P <-> ((N` (AMa)) <_ P /\ P <_ (N` (AMa)))))
25	21, 24	syl 10	. . 3 |- (a e. Y -> ((N` (AMa)) = P <-> ((N` (AMa)) <_ P /\ P <_ (N` (AMa)))))
26	25	ad2antll 409	. 2 |- (((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ (F ~~> P /\ a e. Y)) -> ((N` (AMa)) = P <-> ((N` (AMa)) <_ P /\ P <_ (N` (AMa)))))
27	20, 26	mpbird 196	1 |- (((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ (F ~~> P /\ a e. Y)) -> (N` (AMa)) = P)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  E.wrex 1649  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  RRcr 5245   + caddc 5249  -ucneg 5305   <_ cle 5307  NNcn 5308   < clt 5498   ~~> cli 6974  ~~>mclm 7916  Basecba 8201  -vcnsb 8204  normcnm 8205  IndMetcims 8206  SubSpcss 8376  CPreHilcphl 8467

This theorem is referenced by:  minveclem33 8573

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-met 7790  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ssp 8377  df-ph 8468

Copyright terms: Public domain